Situación inicial
Una persona compra un terreno cuyo valor al contado asciende a \(\$200.000.000\). Le dan la facilidad de pagar el terreno en cuatro cuotas iguales trimestrales asumiendo una tasa de interés del \(5\%~ET\). Si escoge esta opción de pago ¿De cuánto sería la cuota?
Solución inicial
Podemos representar de manera gráfica la situación como sigue:
Utilizando la ecuación: \(P=\frac{s}{(1+i)^n}\) podemos plantear la solución del problema de la siguiente forma:
\[200.000.000=\frac{A}{(1+5\%)^1}+\frac{A}{(1+5\%)^2}+\frac{A}{(1+5\%)^3}+\frac{A}{(1+5\%)^4}\]
Por lo que \(A=\$56.402.366,52\).
El problema no representó grandes inconvenientes en su solución ya que se trataban de 4 períodos trimestrales de tiempo, sin embargo. Imagine un pago mensual de un crédito hipotecario por 20 años. Dado el problema anterior se ha creado un modelo matemático financiero llamado \(ANUALIDADES\).
Definición de ANUALIDAD.
Una ANUALIDAD es una serie de pagos, cuotas, depósitos, retiros o similares que cumple con las siguientes condiciones:
- Todos los pagos son de igual valor.
- Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.
- A todos los pagos se les aplica la misma tasa.
- El número de pagos es igual al número de períodos.
Las anualidades las representamos de la siguiente manera
Valor presente de una ANUALIDAD.
Podemos hallar el valor presente de una anualidad usando la siguiente expresión:
\[P=A\frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}\]
\[A=P\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}\]
Solucionando la situación inicial:
Datos:
- \(P=\$200.000.000\)
- \(i=5\%~ET\)
- \(n=4~trimestres\)
- \(A=¿?\)
Por lo tanto:
\[A=200.000.000\frac{5\%(1+i)^4}{(1+i)^4-1}=\$56.402.366,52\]
Ejemplos
- Se tiene una deuda de \(\$50.000.000\) el pago se debe realizar mediante \(12\) cuotas iguales mensuales con un interés del \(20\%~NACT\) ¿cuanto se debe pagar mensualmente?
Respuesta: \(\$4.623.966,63337709\)
- Para la compra de un vehículo que cuesta \(\$60.000.000\) se exige una cuota inicial del \(40\%\) y el resto se cancela a \(36~cuotas~mensuales\) si los intereses son del \(18\%~EA\) ¿Cuánto se debe pagar de cuota?
Respuesta \(\$1.277.524,10100822\)
- ¿Cuántos pagos mensuales de \(\$600.000\) deberán hacerse para cancelar una deuda de \(\$5.000.000\) con una tasa de interés del \(6,09\%~EM\)
Respuesta \(\approx11,98~meses\)
- Una máquina puede ser comprada a \(459.000~USD\) de contado o con \(45.000~USD\) de cuota inicial y \(18~cuotas~mensuales\) de \(28.000~USD\) ¿Qué tasa aplica en esta operación?
Respuesta \(\approx2,219435\%~EM\)
Valor futuro de una ANUALIDAD
Podemos hallar el valor futuro de una anualidad usando la siguiente expresión:
\[S=A\frac{(1+i)^n-1}{i}\]
\[A=S\frac{i}{(1+i)^n-1}\]
Ejemplos
- Si depositamos \(\$1.000.000\) mensualmente en una cuenta de ahorros que paga el \(16\%~NACT\) ¿Cuánto dinero habrá acumulado en la cuenta hasta el final del mes 9? ¿Cuánto se ha ganado de intereses (I)?
Respuesta: $9.488.575,752
- Se depositan \(\$500.000\) desde el mes 1 al mes 6 ¿Cuánto dinero habrá acumulado en la cuenta si la tasa de interés es del \(20\%~NACM\) y estamos actualmente a final del mes 10?
Respuesta: $3.341.604,77
- Luis, el padre de Sofía, desea empezar a ahorrar al inicio del año \(2024\) para la universidad de su hija. Es capaz e ahorrar cierta cantidad anualmente. Ha pactado una tasa del \(10\%~EA\). Sofi empieza la universidad dentro de 10 años y ha presupuestado que necesita \(\$70.000.000\) en ese instante ¿Cuánto debería ahorrar Luis?
Respuesta: $4.392.177,64
- Una persona deposita en su cuenta de ahorros \(\$100.000\) cada fin de mes. Si al cabo de \(5~años\) tiene en su cuenta la suma de \(\$35.358.371,79\) ¿Qué tasa efectiva anual habrá ganado?
Respuesta:$ i= 4,256285% EM
Tablas de amortización
Las tablas de amortización corresponden al plan de pagos usados por las entidades financieras, muestra de manera detallada:
- Periodos de tiempo \(n\).
- Abono a capital por período \(AC_n\).
- Intereses por período \(I_n\)
- Pago o cuota por período \(P_n\)
- Saldo por período \(S_n\)
Existen muchos tipos de planes de amortización, en este curso veremos tablas de amortización con Pago \(P_n\) constante y con Abono \(AC_n\) constante.
Tablas de amortización con Pago Constante.
Para construir este tipo de planes de pago debemos conocer el monto de deuda \(P\) y la tasa de interés \(i\) en términos efectivos. Usamos las siguientes expresiones:
- \(P_n=P\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}\)
- \(I_n=S_{n-1}i\)
- \(AC_n=P_n-I_n\)
- \(S_n=S_{n-1}-AC_n\)
Ejemplo:
Para un préstamo de \(\$1.000.000\) a una tasa del \(25\%~EA\) con un plazo de \(5~años\), mostrar un plan de pago con Pago constante anuales que especifique los componentes de la deuda.
Aplicando las fórmulas anteriores el plan de pagos resulta en:
| Tiempo | Abono capital | Intereses | Pago | Saldo |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1000000 | |||
| 1 | 121846.739647787 | 250000 | 371846.739647787 | 878153.260352213 |
| 2 | 152308.424559733 | 219538.315088053 | 371846.739647787 | 725844.83579248 |
| 3 | 190385.530699667 | 181461.20894812 | 371846.739647787 | 535459.305092813 |
| 4 | 237981.913374584 | 133864.826273203 | 371846.739647787 | 297477.391718229 |
| 5 | 297477.391718229 | 74369.3479295573 | 371846.739647787 | 0 |
Tablas de amortización con Abono a Capital constante.
Para construir este tipo de planes de pago debemos conocer el monto de deuda \(P\) y la tasa de interés \(i\) en términos efectivos. Usamos las siguientes expresiones:
- \(AC_n=\frac{P}{n}\)
- \(I_n=S_{n-1}i\)
- \(P_n=AC_n+I_n\)
- \(S_n=S_{n-1}-AC_n\)
Ejemplo
Para un préstamo de $1.000.000 a una tasa del 25% EA con un plazo de 5 años, mostrar un plan de pagos anuales con Abono a capital constante que especifique los componentes de la deuda.
Aplicando las fórmulas anteriores el plan de pagos resulta en:
| Tiempo | Abono capital | Intereses | Pago | Saldo |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1000000 | |||
| 1 | 200000 | 250000 | 450000 | 800000 |
| 2 | 200000 | 200000 | 400000 | 600000 |
| 3 | 200000 | 150000 | 350000 | 400000 |
| 4 | 200000 | 100000 | 300000 | 200000 |
| 5 | 200000 | 50000 | 250000 | 0 |
Otros ejercicios
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