Prueba de validez Chi-cuadrado
Jesus Madariaga
2025-08-27
Prueba Chi-cuadrada para validar la uniformidad de los numeros pseudoaleatorios
La prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrada (χ²) es una herramienta sencilla y muy usada para evaluar si un conjunto de números (por ejemplo, una muestra de números pseudoaleatorios) es compatible con una distribución dada, en este caso la distribución uniforme en un intervalo. La idea básica es comparar cuántos valores observamos en distintos subintervalos (clases o “bins”) con los que esperaríamos si realmente los números fueran uniformes.
Cómo funciona (a grandes rasgos)
Divide el rango posible de los números en \(k\) intervalos (bins).
Cuenta \(O_i\), el número observado de valores en cada bin \(i\).
Calcula la frecuencia esperada \(E_i\) para cada bin; si la distribución fuera perfectamente uniforme entonces \(E_i = n/k\) (donde \(n\) es el tamaño de la muestra).
Construye la estadística de prueba:
\[ \chi^2 \;=\; \sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \]
Compara el valor \(\chi^2\) obtenido con la distribución \(\chi^2\) con \(k-1\) grados de libertad, o calcula su p-valor. Si \(\chi^2\) es muy grande (p pequeño), se rechaza la hipótesis de uniformidad; si es pequeño, no hay evidencia suficiente para rechazarla.
Interpretación práctica
- Un estadístico \(\chi^2\) pequeño significa que las frecuencias observadas están cerca de las esperadas: la muestra es compatible con uniformidad.
- Un valor alto indica desviaciones sistemáticas (agrupamientos, vacíos, sesgo), lo que sugiere que la muestra no proviene de una distribución uniforme.
Consideraciones importantes / advertencias
- Elección de \(k\): no hay una única regla, pero conviene que las \(E_i\) sean suficientemente grandes (regla práctica: \(E_i \ge 5\)). Si alguna \(E_i\) es muy pequeña, agrupa bins para aumentar las expectativas.
- Independencia: la prueba asume observaciones independientes. Para secuencias pseudoaleatorias, conviene complementar con pruebas de dependencia como la prueba de corridas o pruebas de autocorrelación.
- Tamaño muestral: con muestras muy pequeñas la prueba pierde potencia; con muestras muy grandes, pequeñas desviaciones no relevantes pueden resultar significativas.
- La χ² es una prueba global: detecta discrepancias generales, pero no indica el tipo específico de anomalía. Por eso suele combinarse con otras pruebas como Kolmogorov–Smirnov o pruebas específicas para generadores.
Consejo práctico para evaluar generadores pseudoaleatorios
- Elige \(k\) de forma que \(E_i=n/k\ge 5\).
- Reporta \(\chi^2\), los grados de libertad \(k-1\) y el p-valor.
- Si rechazas la uniformidad, inspecciona el histograma y realiza pruebas adicionales para identificar la naturaleza del problema.
Ejemplo
a <- 180
c <- 10
m <- 3003012354
X_n <- 20 # semilla
random.number<-numeric(50) # vector numérico de longitud 50
for (i in 1:50)
{X_n<-(a*X_n+c)%%m
random.number[i]<-X_n/m # números en el intervalo [0,1]
}
random.number## [1] 1.202126e-06 2.163861e-04 3.894949e-02 1.090882e-02 9.635882e-01
## [6] 4.458848e-01 2.592691e-01 6.684392e-01 3.190530e-01 4.295466e-01
## [11] 3.183811e-01 3.086061e-01 5.491017e-01 8.383007e-01 8.941236e-01
## [16] 9.422440e-01 6.039199e-01 7.055738e-01 3.287596e-03 5.917673e-01
## [21] 5.181174e-01 2.611400e-01 5.195321e-03 9.351577e-01 3.283886e-01
## [26] 1.099549e-01 7.918845e-01 5.392021e-01 5.637167e-02 1.469012e-01
## [31] 4.422227e-01 6.000845e-01 1.520743e-02 7.373373e-01 7.207093e-01
## [36] 7.276686e-01 9.803545e-01 4.638121e-01 4.861804e-01 5.124696e-01
## [41] 2.445347e-01 1.625061e-02 9.251105e-01 5.198877e-01 5.797872e-01
## [46] 3.616986e-01 1.057522e-01 3.539342e-02 3.708160e-01 7.468786e-01library(agricolae)
hist(random.number, breaks=5)$count
## [1] 13 9 12 9 7 histo <- hist(random.number, breaks=5) Tabla <- table.freq(histo)
lim_inf <-Tabla$Lower #limite inferior del intervalo
lim_sup <- Tabla$Upper # limite superior del intervalo
obser <- Tabla$Frequency
Ei <- length(random.number)/length(obser) # Valor esperado en una uniforme es E= n/#intervalos
cbind(lim_inf,lim_sup,obser,Ei) # visualizacion de las frecuencias observadas y esperadas en los intervalos.## lim_inf lim_sup obser Ei
## [1,] 0.0 0.2 13 10
## [2,] 0.2 0.4 9 10
## [3,] 0.4 0.6 12 10
## [4,] 0.6 0.8 9 10
## [5,] 0.8 1.0 7 10 # calculando la estadística chi cuadrada
x2 <- (obser-Ei)^2/Ei
x2## [1] 0.9 0.1 0.4 0.1 0.9chicuad <- sum(x2)
chicuad # Estadistica chi cuadrada## [1] 2.4 dchi <- qchisq(0.05,length(obser)-1,lower.tail=F)# valor de la distribución chi cuadrada con k-1 grado de libertad y nivel de signiicancia 0.05
# Decisión estadística
ifelse(chicuad < dchi,"Los $U_i$ provienen de una distribución uniforme [0,1]", "Los $U_i no siguen una uniforme [0,1] ")## [1] "Los $U_i$ provienen de una distribución uniforme [0,1]"