Prueba de uniformidad CHI2
BY : Alejandro Sierra
FECHA: 2025-08-27
Prueba CHI Cuadrada para validar la uniformidad de los numeros pesudoaleatorios.
Introducción
En el análisis estadístico de números pseudoaleatorios es indispensable comprobar que dichos valores se distribuyan de manera uniforme dentro del intervalo considerado. Esto se debe a que gran parte de los métodos de simulación y modelado probabilístico asumen que los números generados tienen la misma probabilidad de aparecer, sin presentar sesgos hacia determinadas regiones.
Para validar esta propiedad se emplea la prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrado (χ²), la cual contrasta la distribución empírica de los números con la distribución teórica uniforme. El procedimiento consiste en dividir el rango en varios intervalos, calcular la frecuencia observada en cada uno y compararla con la frecuencia esperada bajo la hipótesis de uniformidad.
De esta forma, la prueba permite determinar estadísticamente si existen diferencias significativas entre lo observado y lo esperado. Si no se encuentran evidencias en contra de la hipótesis nula, se acepta que los números pseudoaleatorios se comportan como una distribución uniforme; de lo contrario, se concluye que el generador no es adecuado para aplicaciones que requieran aleatoriedad confiable.
En la validación de números pseudoaleatorios es esencial comprobar si los datos generados siguen una distribución uniforme en el intervalo
[0,1) [0,1). Esto garantiza que todos los valores tengan la misma probabilidad de ocurrencia, condición necesaria en simulaciones, modelos estadísticos y métodos de Monte Carlo.
Para ello se utiliza la prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrado (χ²). El procedimiento se basa en dividir el rango en 𝑘k intervalos de igual tamaño, donde se registran las frecuencias observadas 𝑂𝑖Oi y se comparan con las frecuencias esperadas 𝐸𝑖Ei, calculadas bajo la hipótesis de uniformidad:
Formula:
\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \]
Formula de la frecuencia esperada en cada intervalo:
\[ E_i = \frac{n}{k}, \quad i = 1,2,\dots,k \]
Ejemplo
a <- 16500
c <- 2240
m <- 2147483546
X_n <- 40 # semilla
random.number<-numeric(50) # vector numérico de longitud 50
for (i in 1:50)
{X_n<-(a*X_n+c)%%m
random.number[i]<-X_n/m # números en el intervalo [0,1]
}
random.number## [1] 0.0003083795 0.0882635447 0.3484889397 0.0675063333 0.8545003967
## [6] 0.2565468718 0.0233859869 0.8687843190 0.9412639644 0.8554137066
## [11] 0.3261603551 0.6458606943 0.7014568595 0.0381827540 0.0154423814
## [16] 0.7992943924 0.3574749587 0.3368202440 0.5340274295 0.4525880703
## [21] 0.7031603389 0.1455929889 0.2843173114 0.2356385710 0.0364223475
## [26] 0.9687350778 0.1287846775 0.9471804987 0.4782292064 0.7819069455
## [31] 0.4646020669 0.9341040837 0.7173821149 0.8048973354 0.8060352142
## [36] 0.5810354116 0.0842920256 0.8184231741 0.9823733485 0.1602518104
## [41] 0.1548722534 0.3921828466 0.0169691982 0.9917719323 0.2368840017
## [46] 0.5860293898 0.4849322212 0.3816512101 0.2449676874 0.9668431955library(agricolae) histo <- hist(random.number, breaks=6)
Tabla <- table.freq(histo)
lim_inf <-Tabla$Lower #limite inferior del intervalo
lim_sup <- Tabla$Upper # limite superior del intervalo
obser <- Tabla$Frequency
Ei <- length(random.number)/length(obser) # Valor esperado en una uniforme es E= n/#intervalos
cbind(lim_inf,lim_sup,obser,Ei) # visualizacion de las frecuencias observadas y esperadas en los intervalos.## lim_inf lim_sup obser Ei
## [1,] 0.0 0.2 13 10
## [2,] 0.2 0.4 11 10
## [3,] 0.4 0.6 7 10
## [4,] 0.6 0.8 6 10
## [5,] 0.8 1.0 13 10 x2 <- (obser-Ei)^2/Ei
x2## [1] 0.9 0.1 0.9 1.6 0.9 chicuad <- sum(x2)
chicuad # Estadistica chi cuadrada## [1] 4.4 dchi <- qchisq(0.05,length(obser)-1,lower.tail=F)# valor de la distribución chi cuadrada con k-1 grado de libertad y nivel de signiicancia 0.05
# Decisión estadística
ifelse(chicuad < dchi,"Los $U_i$ provienen de una distribución uniforme [0,1]", "Los $U_i no siguen una uniforme [0,1] ")## [1] "Los $U_i$ provienen de una distribución uniforme [0,1]"