Tasa nominal - tasa efectiva

Docente: Delio SALGADO. delio.salgado@upb.edu.co

2023-02-28

Tasa nominal

Recordemos que para interés compuesto tenemos:

\[S=P(1+i)^n\]

Con:

$S:~valor~futuro$
$P:~valor~presente$
$i:~tasa~de~interés$
$n:~períodos~de~tiempo$

Situación inicial

Considere la siguiente situación inicial:

Una inversión de $\$1.000.000$ a un año que renta a una tasa del $30\%~anual~compuesto$ y cuyo interés (I) se liquida trimestralmente. La situación la podemos representar en la siguiente tabla hallando $P,~i,~I,~S$:

Tiempo	ValorP	Tasa	Interés	ValorS
0	1000000
1	1000000	0.075	75000	1075000
2	1075000	0.075	80625	1155625
3	1155625	0.075	86671.875	1242296.875
4	1242296.875	0.075	93172.265625	1335469.140625

Con la anterior podemos ver que:

$P=\$1.000.000$
$S=\$1.335.469,14$
$I=\$335.469,14$

Sin embargo, la tasa era del $30\%~anual$ y $\$335.469,14>30\%*\$1.000.000$. La tasa del $30\%$ la llamamos $Tasa~Nominal$ y la definimos como tasa de referencia anual que $NO$ representa lo que $efectivamente$ cuesta un préstamo o renta una inversión. Generalmente se expresa de forma anual y se debe especificar el período de capitalización o composición de los intereses.

Los períodos de capitalización representan la frecuencia con que se capitalizan los intereses. Los más comunes son: diario, semanal, quincenal, mensual, bimestral, trimestral, cuatrimestral, semestral, anual; sin embargo, pueden estimarse períodos diferentes aunque con mínima utilización en la actualidad. Algunos ejemplos de tasas nominales:

$30\%~anual~capiotalizable~mensual~=~30\%~NACM$
$15\%~anual~compuesto~trimestral~=~15\%~NACT$
$20\%~anual~compuesto~semestral~=~20\%~NACS$
$18\%~nominal~anual~compuesto~semestral~=~18\%~NACS$

Tasa efectiva

A diferencia de la tasa nominal, la $Tasa~efectiva$ corresponde a lo que realmente cuesta un préstamo o renta una inversión en un período de tiempo determinado. Para identificar este tipo de tasas las nombramos con el “apellido” $Efectiva~Período~de~tiempo$, como por ejemplo.

$30\%~efectiva~anual~=~30\%~EA$
$15\%~efectiva~trimestral~=~15\%~ET$
$20\%~efectiva~semestral~=~20\%~ES$
$18\%~efectiva~semestral~=~18\%~ES$

Equivalencia en tasas de interés

Dos tasas de interés se dicen equivalentes cuando, teniendo diferente efectividad producen el mismo monto de dinero al final de un período de tiempo. Por lo que lo interesante es poder hallar tasas equivalentes a partir de una tasa inicial, a lo anterior lo llamamos Conversión de Tasas de Interés

Caso 1 conversión: de una tasa NOMINAL a una tasa EFECTIVA

Para pasar de una tasa nominal a una tasa efectiva debemos llevar a cabo los siguientes pasos:

Hallar la tasa de interés periódica $i_p$

\[i_p=\frac{i_n}{m}\]

Donde:

$i_p:~tasa~de~interés~periódicoa$
$in:~tasa~de~interés~nominal$
$m:periódos~de~capitalización~de~interés$

Hallar la tasa de interés efectiva deseada $ie$

\[i_e=(1+i_p)^\frac{m_1}{m_2}-1\]

Donde:

$ie:~tasa~efectiva$
$i_p:~tasa~periódica$
$m_1:~período~de~tiempo~de~ip~en~un~año$
$m_2:~periódo~de~tiempo~de~ie~en~un~año$

Ejemplo

Consideremos la situación inicial en donde una inversión de $\$1.000.000$ a un año que renta a una tasa del $30\%~anual~compuesto$ y cuyo interés (I) se liquida trimestralmente. Por lo que se tiene una tasa del $30\%~nominal~anual~capitalizable~trimestral$. Se solicita hallar una $efectiva~anual$ equivalente.

Solución

Hallamos el $ip$ donde:

$in=30\%~nominal~anual~capitalizable~trimestral$
$m=4~(existen~4~trimestres~en~un~año)$

\[i_p=\frac{0.3}{4}=0,075~periódico~trimestral\]

Hallamos $ie$ donde:

$i_p:~0,075~periódico~trimestral$
$m_1=4$
$m_2=1$

\[i_{e~anual}=(1+0,075)^\frac{4}{1}-1=0,335469141\approx33,55\%~EA\]

Observe que aplicando esta tasa efectiva anual obtendríamos los $\$335.469,14$ de intereses $I$ de la situación inicial

Caso 2 conversión: de una tasa EFECTIVA a una tasa EFECTIVA

Para pasar de una tasa efectiva 1 $i_{e1}$ a una tasa efectiva 2 $i_{e2}$ debemos llevar a cabo los siguientes pasos:

Tomamos la tasa $i_{e1}$ como $i_p$.
Aplicamos la fórmula de tasa de interés efectiva deseada $ie$

\[i_e=(1+i_p)^\frac{m_1}{m_2}-1\]

Donde:

$i_e:~tasa~efectiva$
$i_p:~tasa~periódica$
$m_1:~período~de~tiempo~de~ip~en~un~año$
$m_2:~periódo~de~tiempo~de~ie~en~un~año$

Ejemplo

A partir de una tasa del $15\%~ES$ halle una tasa efectiva anual equivalente y una efectiva mensual equivalente.

Solución

Tomamos la $i_{e1}=15\%~ES$ como $i_p$, por lo tanto: $i_p=15\%~periódico~semestral$
Aplicamos la fórmula de tasa de interés efectiva deseada $ie$, por lo tanto:

Para la tasa efectiva anual equivalente:

\[i_{e~anual}=(1+15\%)^\frac{2}{1}-1=32,25\%~EA\]

Para la tasa efectiva mensual equivalente:

\[i_{e~mensual}=(1+15\%)^\frac{2}{12}-1\approx2,36\%~EM\]

Caso 3 conversión: de una tasa EFECTIVA a una tasa NOMINAL

Para pasar de una tasa efectiva 1 $i_{e1}$ a una tasa nominal $i_{n}$ debemos llevar a cabo los siguientes pasos:

A partir de $i_{e1}$ hallar una tasa efectiva $i_{e2}$ en términos temporales de los períodos de capitalización de la tasa nominal $i_n$. Este procedimiento corresponde al Caso 2 de conversiones.
Aplicamos:

\[i_n=i_{e2}*m\]

Recuerde que $m$ corresponde a los periodos de capitalización de intereses del interés nominal $i_n$.

Ejemplo

Halle una tasa $Nominal~anual~capitalizable~mensual$ equivalente a una tasa del $10\%~ES$

Hallamos la $i_{e2}$ mensual a partir de la $i_{e1}=10\%~ES$.

\[i_{e~mensual}=(1+10\%)^\frac{2}{12}-1\approx1,60\%~EM\]

Hallamos $i_n$

\[i_n~NACM=1,60\%*12\approx19,21\%~NACM\]

Caso 4 conversión: de una tasa NOMINAL a una tasa NOMINAL

Para pasar de una tasa nominal 1 $i_{n1}$ a una tasa nominal 2 $i_{n2}$ debemos llevar a cabo los siguientes pasos:

A partir de la tasa nominal 1 $i_{n1}$ hallar una tasa efectiva $i_{e}$ en términos temporales de los períodos de capitalización de la tasa $i_{n2}$. Este procedimiento corresponde al Caso 1 de conversiones.
Aplicamos:

\[i_{n2}=i_{e}*m\]

Recuerde que $m$ corresponde a los periodos de capitalización de intereses del interés nominal $i_{n2}$.

Ejemplo

Convierta una tasa del $20\%~NACT$ a una tasa $NACM$ equivalente.

Solución

A partir de $i_{n1} = 20\%~NACT$ hallamos una tasa $i_e$ en términos temporales de los períodos de capitalización de $i_{n2}$, debemos aplicar entonces el caso 1.

Hallamos $i_p=\frac{20%}{4}=5\%~periódico~trimestral$
Hallamos $i_{e~mensual}=(1+5\%)^{\frac{4}{12}}-1\approx1,64\%~EM$
Aplicamos: $i_{n2}=1,64\%*12=19,67\%~NACM$