Tugas Praktikum Pertemuan 1

Latihan Soal 1

Diberikan Matriks sebagai berikut

A<-matrix(c(9,1,1,9),2,2)
B<-matrix(c(2,0,0,0,4,0,0,0,0),3,3)
C<-matrix(c(1,0,0,0,1,0,0,0,1),3,3)

A
##      [,1] [,2]
## [1,]    9    1
## [2,]    1    9
B
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    0    0
## [2,]    0    4    0
## [3,]    0    0    0
C
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1

1. Tentukan Akar Ciri dan Vektor Ciri dari Matriks A, B, dan C!

Akar Ciri

akar_ciri_A <- eigen(A)$values
akar_ciri_B <- eigen(B)$values
akar_ciri_C <- eigen(C)$values

akar_ciri_A
## [1] 10  8
akar_ciri_B
## [1] 4 2 0
akar_ciri_C
## [1] 1 1 1

Vektor Ciri

vektor_ciri_A <- eigen(A)$vectors
vektor_ciri_B <- eigen(B)$vectors
vektor_ciri_C <- eigen(C)$vectors

vektor_ciri_A
##           [,1]       [,2]
## [1,] 0.7071068 -0.7071068
## [2,] 0.7071068  0.7071068
vektor_ciri_B
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    0    1    0
## [2,]    1    0    0
## [3,]    0    0    1
vektor_ciri_C
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    0    0    1
## [2,]    0    1    0
## [3,]    1    0    0

2. Apakah Matriks A, B, dan C Merupakan Matriks Definit Positif

Matriks Definit Positif Jika \[ x^t A x > 0 \] #### Matriks A

x_A <- vektor_ciri_A
xt_A <- t(x_A)

# membuktikan Matriks Definit Positif
sub_A <- xt_A%*%A
final_A <- sub_A%*%x_A

final_A
##      [,1] [,2]
## [1,]   10    0
## [2,]    0    8

Matriks B

x_B<- vektor_ciri_B
xt_B <- t(x_B)

# membuktikan Matriks Definit Positif
sub_B <- xt_B%*%B
final_B <- sub_B%*%x_B

final_B
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    4    0    0
## [2,]    0    2    0
## [3,]    0    0    0

Matriks C

x_C <- vektor_ciri_C
xt_C <- t(x_C)

# membuktikan Matriks Definit Positif
sub_C <- xt_C%*%C
final_C <- sub_C%*%x_C

final_C
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1

Kesimpulan

Mangapa hasilnya bukan suatu nilai melainkan matriks? Karena eigen()$vectors menampilakn vektor ciri untuk semua nilai akar ciri, yang disimpan dalam bentuk matriks.

Solusinya, menggunankan is.positive.definite()

install.packages("matrixcalc", repos = "https://cloud.r-project.org")
## Installing package into 'C:/Users/Fathoni Sabri/AppData/Local/R/win-library/4.5'
## (as 'lib' is unspecified)
## package 'matrixcalc' successfully unpacked and MD5 sums checked
## 
## The downloaded binary packages are in
##  C:\Users\Fathoni Sabri\AppData\Local\Temp\RtmpsTkiWH\downloaded_packages
library(matrixcalc)

is.positive.definite(A)
## [1] TRUE
is.positive.definite(B)
## [1] FALSE
is.positive.definite(C)
## [1] TRUE

Matriks B bukanlah matriks definit positif.

Latihan Soal 2

Diberikan matriks ragam peragam sebagai berikut

z<-matrix(c(25,-2,4,-2,4,1,4,1,9),3,3)
z
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   25   -2    4
## [2,]   -2    4    1
## [3,]    4    1    9

Maka matriks korelasinya adalah

kor_z<-cov2cor(z)
kor_z
##            [,1]       [,2]      [,3]
## [1,]  1.0000000 -0.2000000 0.2666667
## [2,] -0.2000000  1.0000000 0.1666667
## [3,]  0.2666667  0.1666667 1.0000000