Berikut adalah jawaban soal pada Tugas Kelompok Kalkulus 1

1. Gunakan estimasi polinomial derajat 2 untuk menemukan nilai \(\sqrt[3]{8.1}\) (menggunakan aproksimasi kuadratik)

Tentukan Fungsi dan Titik

  1. Pilih fungsi yang relevan: \(f(x)=\sqrt[3]{x}\)
  2. Pilih titik yang terdekat dan mudah dihitung: \(a=8\)
  3. Nilai yang ingin diestimasi adalah \(x=8.1\)

Hitung Nilai Fungsi dan Turunan di Titik \(a\)

  1. Hitung nilai fungsi di \(a: f(8)=\sqrt[3]{8}=2\)
  2. Cari turunan pertama fungsi: \(f'(a)=\frac{1}{3 \sqrt[3]{x}^2}\)
  3. Hitung nilai turunan di \(a: f'(a)=\frac{1}{3 \sqrt[3]{8}^2}=\frac{1}{3\times4}=\frac{1}{12}=0.08333\)
  4. Cari turunan kedua fungsi: \(f''(a)=-\frac{2}{9 \sqrt[3]{x}^5}\)
  5. Hitung nilai turunan di \(a: f''(a)=-\frac{2}{9 \sqrt[3]{8}^5}=-\frac{2}{9\times32}=-\frac{2}{288}=-0.00694\)

Terapkan Formula Estimasi Polinomial Berderajat 2

  1. Substisusi nilai ke persamaan \[f(x)\approx P_2 (x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2\] \[f(8.1)\approx P_2(8.1)= 2+0.08333(8.1-8)+-\frac{0.00694}{2}(8.1-8)^2\] \[\sqrt[3]{8.1}\approx 2+0.00833-0.0000347\] \[\sqrt[3]{8.1}\approx 2.0083\]

Jadi, nilai dari estimasi polinomial berderajat 2 untuk \(\sqrt[3]{8.1}\) adalah sekitar \(2.0083\). Selanjutnya, mari kita cocokkan dengan output dari R

`{r}

x <- (8.1)^(1/3) # pangkat 1/3 untuk akar kubik x `

Hasil R menunjukkan bahwa nilai eksak dari \(\sqrt[3]{8.1}\) adalah \(2.0083\).

2. Selesaikan pertidaksamaan \(|x^2-4|\leq5\)

Langkah:Ubah menjadi bentuk ekuivalen: \[-5\leq x^2-4\leq5\]

tambahkan 4 dari semua bagian: \[-5+4\leq x^2-4+4\leq5+4\]

sehingga menjadi\[-1\leq x^2\leq9\]

karena \(x^2\) selalu bernilai nol atau positif, bagian kiri pertidaksamaan \(-1\leq x^2\) selalu benar untuk semua x

maka kita hanya perlu memperhatikan bagian kanan: \[x^2\leq9\]

selesaikan pertidaksamaan kuadratnya:\[-3\leq x\leq 3 \]

Sehingga, himpunan penyelesaian dari \(|x^2-4|\leq5\) adalah: \[[-3,3]\]

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \((x-1)(x-2)(x-4)\leq0\)

Langkah:

=> \(x\leq1\)

\[(x-1)<0, (x-2)<0, (x-4)<0\]

maka \((x-1)(x-2)(x-4)<0\) (negatif)

=> \(1<x<2\)

\[(x-1)>0,(x-2)<0, (x-4)<0\]

maka \((x-1)(x-2)(x-4)<0\) (positif)

=> \(2<x<4\)

\[(x-1)>0, (x-2)>0, (x-4)<0\]

maka \((x-1)(x-2)(x-4)<0\) (negatif)

=> \(x>4\)

\[(x-1)>0, (x-2)>0, (x-4)>0\]

maka \((x-1)(x-2)(x-4)<0\) (positif)

Karena \((x-1)(x-2)(x-4)\leq0\), maka himpunan penyelesaian adalah interval yang memiliki tanda negatif, yaitu: \[x\leq1\] atau \[2\leq x\leq4\]

Karena pertidaksamaan memiliki tanda \(\leq\) maka kita perlu memasukkan titik-titik kritis. \(x=1\), \(x=2\), \(x=4\)

Tentukan interval yang memenuhi \(\leq0\)

Negatif : \((-\infty,1)\) dan \([2,4]\)

Nol : \(x=1\), \(x=2\), \(x=4\)

Sehingga, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \((x-1)(x-2)(x-4)\leq0\) adalah \[(-\infty,1]\cup[2,4]\]