{r setup, include=FALSE} ## Global options knitr::opts_chunk$set(cache = TRUE)
Berikut adalah jawaban soal tugas kelompok pada Materi Kalkulus 1
1. Gunakan estimasi polinomial berderajat 2 untuk memperkirakan nilai dari \(\sqrt[3]{8.1}\) (gunakan aproksimasi kuadratik)
Estimasi mendekati \(\sqrt[3]{8.1}\)
Ambil titik a=8 (agar mudah dihitung \(\sqrt[3]{8.1}\)) Misalkan \[f(x)=\sqrt[3]{8.1}=x^\frac{1}{2}\] \[f"(x)=\frac{1}{{3}\sqrt[3]{x^2}}\] \[f"(x)=\frac{2}{{9}\sqrt[3]{x^5}}\] \[f(8)=2\] \[f'(8)=\frac{1}{{3}\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{12}\] \[f"(8)=\frac{2}{{3}\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{144}\] Polinomial Taylor derajat 2: \[f(x)\approx f(x_{0})=f(x_{0})(x-x_{0})=\frac {f"x_{0}}{2} (x-x_0)^2\] Dengan \(a=8, x=8.1\) \[\sqrt[3]{8.1}\approx 2 +\frac{1}{12} (0.1)+\frac{\frac{2}{1}}{28800} (0.1)^2\] \[\approx 2+\frac{1}{120}+(-\frac{1}{28800})\] \[\approx 2+0,0083-0,00034\] \[\approx 2,008266\] Jadi, nilai dari estimasi polinomial berderajat 2 untuk memperkirakan nilai dari \(\sqrt[3]{8.1}\) adalah \(\approx2,008266\)
2. Tentukan himpunan pertidaksamaan dari \(|x^2-4|\leq5\)
Penyelesaian pertidaksamaan ini bisa dengan membaginya menjadi 2 kondisi:
- Kondisi awal \[|x^2-4|\leq5\]
- Menjadi \[-5\leq x^2-4\leq5\] Tambahkan 4 kesemua ruas \[-1\leq x^2\leq9\] Karena \(x^2 \geq0\), maka \[0\leq x^2\leq3\] Maka diambil akarnya menjadi: \[-3\leq x\leq3\] Jadi,himpunan pertidaksamaan dari \(|x^2-4|\leq5\) adalah \({x|x\leq -3|x\geq 3}\)
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \((x-1)(x-2)(x-4)\leq 0\)
Misalnya, \(x=1, x=2, x=4\)
Untuk interval \(x<1\) \[x=0(0-1)(0-2)(0-4)=(-1)(-2)(-3)\] \[=-8\] \[-8<0\] memenuhi(negatif atau kurang dari 0)
interval \(1<x<2\) \[x=1,5(1,5-1)(1,5=2)(1,5-4)=(0,5)(-0,5)(-2,5)\] \[=0,625\] \[=0,625>0\] tidak memenuhi (positif atau lebih dari 0)
interval \(2<x<4\) \[=-12\] \[=-12<0\] memenuhi(negatif atau kurang dari nol)
interfal \(x>4\) \[x=5(5-1)(5-2)(5-4)=(4)(3)(1)\] \[=12\] \[=12>0\] tidak memenuhi(positif atau lebih dari o)
karena pertidaksamaan \(\leq 0\), ambil bagian negatif atau nol :\((-\infty,1]\cup[2,4]\) Sehingga, himpunan penyelesaiannya adalah gabungan dari kedua interval \((-\infty,1]\cup[2,4]\)