Kalkulus I (Kelompok 1)

Novellya Annur, Nadia, M. Wahyu Ramdani, Chokye Adriantama Sitanggang, Yola Puspitasari

date: "2025-08-24"

Berikut adalah jawaban soal pada Materi Kalkulus 1

1. Gunakan estimasi polinomial kuadratik untuk menemukan nilai \(\sqrt[3]{8.1}\)

Tentukan Fungsi dan Titik

Pilih fungsi yang relevan: \(f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}\)
Pilih Titik yang terdekat dan mudah dihitung: \(a=8\)
Nilai yang diestimasi adalah \(x=8.1\)

Hitung nilai Fungsi dan Turunan di Titik \(a\)

HItung nilai fungsi di \(a: f(8)=\sqrt[3]{8}=2\)
Cari turunan pertama fungsi: \(f'(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\)
Hitung nilai turunan pertama fungsi: \(f'(8)=\frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{3.2^2}=\frac{1}{12}\)
Cari turunan kedua fungsi: \(f''(x)=-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}\)
Hitung nilai turunan kedua fungsi: \(f''(8)=-\frac{2}{9\sqrt[3]{8^5}}=-\frac{2}{9.2^5}=-\frac{2}{288}=-\frac{1}{144}\)

Terapkan Formula Estimasi Kuadratik

Gunakan polinomial Taylor derajat 2: \(f(x)\approx P_{2}= f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^{2}\) untuk menghitung nilai

Substitusi nilai: \[P_{2}(8.1)= f(8)+f'(8)(8.1-8)+\frac{f''(8)}{2}(8.1-8)^{2}\] \[\sqrt[3]{8.1}= 2+\frac{1}{12}(0.1)+(-\frac{1/144}{2})(0.1)^2\] \[\sqrt[3]{8.1}= 2+\frac{0.1}{12}-\frac{1}{288}(0.1)\] \[\sqrt[3]{8.1} = 2+0,0083-0,000034\] \[\approx 2,008266\]

Jadi, nilai estimasi kuadratik untuk \(\sqrt[3]{8.1}\) adalah sekitar 2,008266. Selanjutnya mari kita cocokkan dengan output dari R

x <- (8.1)^(1/3)
x

## [1] 2.008299

Hasil R menunjukkan bahwa nilai eksak dari \(\sqrt[3]{8.1}\)

2. Selesaikan Pertidaksamaan \(|x^2-4|\leq 5\)

Pertidaksamaan: \[|x^2-4|\leq 5\] Artinya: \[-5\leq x^2-4\leq 5\] Tambah 4 pada semua ruas: \[-1\leq x^2\leq 9\] Karena \(x^2\geq 0\), bagian \(x^2\geq-1\) selalu benar. Jadi syarat utamanya: \[x^2\leq 9\] Maka diperoleh: \[-3\leq x\leq 3\] Himpunan penyelesaian adalah: [-3,3]

x <- seq(-5,5,0.1)
sol <- x[abs(x^2 - 4) <= 5]
range(sol)

## [1] -3  3

3. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari Pertidaksamaan \((x-1)(x-2)(x-4)\leq 0\)

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Tentukan akar-akar persamaan

Dari faktor \((x-1)(x-2)(x-4)=0\), diperoleh titik kritis: \[x=1, x=2, x=4\]

2. Membagi garis bilangan

Titik-Titik ini membagi garis bilangan menjadi empat bagian interval, yaitu: \[x < 1\] \[1 < x < 2\] \[2 < x < 4\] \[x > 4\]

3. Menguji setiap interval

Pilih satu nilai uji dari setiap interval dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan \((x-1)(x-2)(x-4)\leq0\) untuk menentukan tanda (positif atau negatif) di setiap interval.

untuk \(x<1\), misal \(x=0\), => \((0-1)(0-2)(0-4) = -8\) (negatif)

untuk \(1<x<2\), misal \(x=1,5\), => \((+)(-)(-) = +\) (positif)

untuk \(2<x<4\), misal \(x=3\), => \((+)(+)(-) = -\) (negatif)

untuk \(x>4\), misal \(x=5\), => \((+)(+)(+) = +\) (positif)

4. Menentukan himpunan penyelesaian

Pertidaksamaan yang dicari: \((x-1)(x-2)(x-4)\leq0\)
Hasil pengujian menunjukkan nilai negatif pada: \(x<1\) dan \(2<x<4\)
Simbol \(\leq\) menunjukkan bahwa titik-titik kritis 1, 2, dan 4 ikut disertakan dalam himpunan penyelesaian
Gabungkan interval yang memenuhi: \[x\leq 1\] \[2\leq x\leq 4\]

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(x\leq1\) atau \(2\leq x\leq 4\).

Dalam notasi interval, himpunan penyelesaiannya adalah \((\infty,1]\cup[2,4]\)