Presentación y análisis descriptivo de datos con uso de software R

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# Presentación y análisis descriptivo de datos con uso de software R
]
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## Medidas estadísticas
]
.author[
### Prof. Roberto Roque <br><a href="https://rpubs.com/alonso97roque/1335091"> <i class="fa fa-desktop fa-fw"></i>  RPub</a>
]
.institute[
### Departamento de Matemática y Estatística, </br> Universidad Catolica San Pablo
]

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);
background-size: contain;
background-repeat: no-repeat;
position: absolute;
top:1em;right:1em;
}
</style>
<script>(function () {
  let tries = 0
  function addLogo () {
    if (typeof slideshow === 'undefined') {
      tries += 1
      if (tries < 10) {
        setTimeout(addLogo, 100)
      }
    } else {
      document.querySelectorAll('.remark-slide-content:not(.title-slide):not(.inverse):not(.hide_logo)')
        .forEach(function (slide) {
          const logo = document.createElement('div')
          logo.classList = 'xaringan-extra-logo'
          logo.href = null
          slide.appendChild(logo)
        })
    }
  }
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', addLogo)
})()</script>
</div>

# Medidas de Tendencia Central

Las medidas de tendencia central señalan el valor alrededor del cual se sitúa la mayor parte de los datos del grupo, y cumplen una función doble:

- Indican cuál es la posición del grupo (cuál es la magnitud general de la variable en el grupo).

- Reducen el conjunto de datos del grupo a un solo número (reducción de datos).

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# Datos No agrupados

Los datos no agrupados son el conjunto de datos que no se ha clasificado y es presentada en su forma de aparición en una tabla de datos donde cada valor se representa de forma individual. Por lo general este conjunto comprende una cantidad de elementos menor a 30 `$(n<30)$` con poca o nula repetición. El manejo de estos datos es simple, se recolectan los datos de la población de estudio y dichos datos se distribuyen en una tabla de datos y se analizan sin necesidad de formar clases con ellos.

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# Moda

La moda es el valor que ocurre con mayor frecuencia en
los datos.

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La moda no siempre existe o no siempre es única, por ello tenemos la siguiente clasificación:

- Bimodal: 2 valores tienen las más altas frecuencias.

- Multimodal: Más de 2 valores tienen las más altas frecuencias.
	
- Amodal: No hay moda.

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---

# Cálculo de la moda en R

En la base de R no hay un comando que calcule la moda. Aquí instalaremos el paquete `modeest` con el código:
```
install.packages("modeest")
```
Y usaremos la librería de mismo nombre.

---

### Ejemplo

> Halle la moda en los siguientes datos
<center>3, 4, 5, 3, 6, 2, 1, 7, 9, 6, 5, 6, 2, 8</center>

**Solución**
Ingresando los datos:

``` r
x<-c(3, 4, 5, 3, 6, 2, 1, 7, 9, 6, 5, 6, 2, 8)
x
```

```
##  [1] 3 4 5 3 6 2 1 7 9 6 5 6 2 8
```

La moda es dada por

``` r
library(modeest)
mlv(x,method="mfv")
```

```
## [1] 6
```

---

### La moda en datos agrupados con intervalos

La moda se calcula de la siguiente manera:

- Se determina el intervalo en donde la frecuencia absoluta es mayor (intervalo modal).
	
- Se aplica la formula `$$Mo=L_k+\left(\frac{d_1}{d_1+d_2}\right)A,$$`
	donde `$$d_1=f_k-f_{k-1}, \quad d_2=f_k-f_{k+1},$$`
    + `$L_k$`: limite inferior del intervalo modal
    + `$f_k$`: frecuencia absoluta del intervalo modal
    + `$f_{k-1}$`: frecuencia absoluta del intervalo anterior al intervalo modal
    + `$f_{k+1}$`: frecuencia absoluta del intervalo posterior al intervalo modal
    + `$A$`: amplitud del intervalo modal.
    
---    
    
    
### Ejemplo

> En la siguiente tabla se muestran los puntajes (de 0 a 100) obtenidos por 50 postulantes en un examen de reglas de tránsito, para obtener su licencia de conducir. Determinar e interpretar la moda.

|||
|:--:|:--:|
|Intervalo|Nro. de estudiantes|
|$[30,40)$|2|
|$[40,50)$|10|
|$[50,60)$|6|
|$[60,70)$|12|
|$[70,80)$|9|
|$[80,90)$|7|
|$[90,100)$|4|
|Total|50|

---

**Solución.**
Hallamos la frecuencias acumuladas y el intervalo modal

---

De la tabla observamos que el intervalo modal corresponde a `$[60,70)$` y entonces
`$$f_{k}=12,\quad f_{k-1}=6,\quad f_{k+1}=9,\quad L_k=60,\quad A=10$$`
Se sigue que
`$$d_{1}=12-6=6,\quad d_{2}=12-9=3$$`

Empleando la fórmula para datos agrupados:
`\begin{eqnarray*}
	Mo & = & L_{k}+\left(\dfrac{d_{1}}{d_{1}+d_{2}}\right)\cdot A\\
	& = & 60+\left(\dfrac{6}{6+3}\right)10\\
	& = & 66.67
\end{eqnarray*}`
Interpretación: La nota más común en los postulantes es de `$66\text{.}67$`.

---

## Propiedades de la moda
	
Las propiedades de la moda se pueden resumir de la siguiente manera:

- A menudo, la moda puede no ser una buena medida descriptiva, ya
que no todas las observaciones se utilizan para calcular la moda.

- La moda puede no ser un solo valor, es decir, las observaciones
pueden tener más de una moda

- No podemos combinar modas para calcular una media modal de dos
modas separadas en la distribución.

- La moda es una medida volátil, sensible a pequeños cambios en las
observaciones.

- La moda no se ve afectada por valores extremos (outliers).

---

# Media

El concepto de media aritmética es bastante familiar. Para calcular la
media, sume todas las observaciones y divida por el número de
valores sumados.

## La media en datos no agrupados

Si `$X$` es una variable cuantitativa que toma los valores `$x_1, x_2, x_3,\ldots,x_n$` entonces la media aritmética es dada por
`$$\overline{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},$$`
donde `$n$` indica el tamaño de la muestra.

---

### Ejemplo.
> Se tiene el registro de ventas en millones de soles durante 10 años de un empresa transnacional: 19 , 20 , 18 , 16 ,16, 25 , 23, 18, 19, 13. 
Calcule el promedio (media aritmética).

**Solución**

- Ingresando datos:

``` r
x<-c(19 , 20 , 18 , 16 ,16, 25 , 23, 18, 19, 13)
x
```

```
##  [1] 19 20 18 16 16 25 23 18 19 13
```
- Hallando la media:

``` r
mean(x)
```

```
## [1] 18.7
```

---

## La media en datos agrupados sin intervalos

Si `$n$` valores de una variable cuantitativa discreta `$X$` están organizados de modo que `$x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}$` son `$k$` valores distintos y `$f_{1},f_{2},\ldots,f_{k}$` son las frecuencias absolutas respectivas, entonces la media aritmética es el número:
`$$\overline{x}=\dfrac{{\textstyle \sum\limits_{i=1}^{k}}f_{i}\cdot x_{i}}{n}$$`
---

### Ejemplo
> Se les preguntó a un grupo de personas sobre cuantos carros han comprado hasta el momento y se obtuvo la siguiente tabla:

| `$x_i$` | `$f_i$` | `$f_i x_i$` |
|:---:|:---:|:---:|
| 0 | 48 | 0 |
| 1 | 35 | 35 |
| 2 | 20 | 40 |
| 3 | 7  | 21 |
| 4 | 0  | 0  |
| 5 | 1  | 5  |
| **TOTAL** | **111** | **101** |

La media es 
`$\quad \overline{x}=\dfrac{\sum f_i x_i}{n}=\dfrac{101}{111}=0.9099\approx 1.$`

---

## Observación

1. Se puede redondear al entero 1 solo para la interpretación, y porque que nuestros datos son discretos.
<center>*Interpretación: En promedio las personas han comprado 1 carro.*</center>
<br>

2. En el caso que la variable es continua, no se debe redondear a enteros cuando haya decimales.

**Verificando el cálculo con R:**

``` r
x=0:5
f=c(48,35,20,7,0,1)
mean(rep(x,f))
```

```
## [1] 0.9099099
```

---

## La media en datos agrupados con intervalos

En este caso, la media es el cociente de la suma
de los productos de las frecuencias absolutas `$f_i$` con sus respectivas
marcas de clase `$x_i$` de la variable en estudio y el número de
observaciones. Es decir,
`$$\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^{k}x_if_i}{n},$$`
donde `$x_i$` es la marca de clase.

---

### Ejemplo

> A 50 clientes de una institución financiera se les ha preguntado por el tiempo en minutos que han tenido que esperar en cola de la caja para realizar su gestión. Sus respuestas se han organizado en la siguiente tabla.

| Tiempo    | `$x_i$` | `$f_i$` | `$x_i f_i$` |
|:---------:|:-----:|:-----:|:---------:|
| `$[0,5)$`   | 2.5   | 20    | 50        |
| `$[5,10)$`  | 7.5   | 15    | 112.5     |
| `$[10,15)$` | 12.5  | 10    | 125       |
| `$[15,20)$` | 17.5  | 3     | 52.5      |
| `$[20,25)$` | 22.5  | 2     | 45        |
| **Total** | —     | **50**| **385**   |

---

**Solución.**

La media es
`$$\overline{x}=\frac{\sum x_if_i}{n}=\frac{385}{50}=7.7$$`

Interpretación: El tiempo promedio de espera en la cola de 50 clientes es de 7.7 minutos.

---

# Propiedades de la media

A seguir las propiedades de la media aritmética :

- Para calcular la media se utilizan todas las observaciones
disponibles.

- La media se ve afectada por los valores extremos.

- La media es una medida estable a pequeños cambios en las
observaciones.

- La media no será necesariamente igual a uno de los valores
observados.

- La media no se puede determinar gráficamente.

---

# Mediana

La mediana es el valor medio central después de ordenar los
datos en orden ascendente.

---

# Cálculo de la mediana
Para calcular la mediana, realice los siguientes pasos:

- Ordenar las observaciones en orden ascendente;

- Identificar el centro de las observaciones;

- El valor medio central de las observaciones es la mediana.

- Algebraicamente, la mediana es el valor que ocupa la posición `$\frac{n+1}{2}$`.

- Si la razón no es un número entero, la mediana de los dos valores
más cercanos a `$\frac{n+1}{2}$`.

---

.panelset[

.panel[.panel-name[Ejemplo]

> Las notas obtenidas por 9 estudiantes  fueron:
<center>
16 , 11 , 10 , 16 , 9 , 10 , 17, 8, 19
</center>
Halle la mediana e interprete.

]

.panel[.panel-name[Solución]

- Ingresando datos y ordenando

``` r
x<-c(16 , 11 , 10 , 16 , 9 , 10 , 17, 8, 19)
x
```

```
## [1] 16 11 10 16  9 10 17  8 19
```
---

- Ordenando datos

``` r
sort(x)
```

```
## [1]  8  9 10 10 11 16 16 17 19
```

- Calculando la mediana

``` r
median(x)
```

```
## [1] 11
```

]

---

.panelset[

.panel[.panel-name[Ejemplo]

>Las notas obtenidas por 14 estudiantes  fueron:
<center>
		16 , 11 , 10 , 16 , 9 , 10 , 17, 8, 19, 4, 5 ,12 ,13, 14
</center>
Halle la mediana de la muestra.

]

.panel[.panel-name[Solución]

- Ingresando datos y ordenando

``` r
x<-c(16,11,10,16,9,10,17,8,19,4,5,12,13,14)
sort(x)
```

```
##  [1]  4  5  8  9 10 10 11 12 13 14 16 16 17 19
```

- Calculando la mediana

``` r
median(x)
```

```
## [1] 11.5
```

]
]

---

### Ejemplo
> Halle la mediana en la siguiente tabla:

```
##   x Frec.Abs Frec.Acum
## 1 0        6         6
## 2 1        4        10
## 3 2        3        13
## 4 3        1        14
## 5 4        6        20
```

Tenemos que el valor de `$\frac{n+1}{2}=\frac{20+1}{2}=$` 10.5, luego la mediana es el promedio de `$x_{10}$` y `$x_{11}$`.

Según la tabla `$x_{10}=1$` porque lo valores de la segunda fila no pasan de `$F_2=10$`, mientras que `$x_{11}$` pasa a la tercer fila justo porque la frecuencia acumulada `$F_{2}=10$` indica que `$x_{10}$` fue último dato que tomó el valor de 1. Luego, `$x_{11}=2$`.

La mediana es `$$Me=\frac{x_{10}+x_{11}}{2}=\frac{1+2}{2}=1.5$$`

---

### La mediana en datos agrupados con intervalos

- Se determina el intervalo que contiene a la mediana calculando `$\frac{n}{2}$` de modo que se cumpla que `$$F_{k-1}\leq \frac{n}{2}<F_k.$$`

- Se aplica la formula
	`$$Me=L_k+\left(\frac{\frac{n}{2}-F_{k-1}}{f_k}\right)A,$$`
	donde
    + `$L_k$`: limite inferior del intervalo de la mediana
    + `$F_{k-1}$`: frecuencia absoluta acumulada anterior al intervalo de la mediana
    + `$f_k$`: frecuencia absoluta del intervalo de la mediana
    + `$A$`: amplitud del intervalo de la mediana.
    
---
    
    
### Ejemplo

| Tiempo       | <i>f</i><sub>i</sub> |
|:------------:|:-------------------:|
| [0,5)        | 20 |
| [5,10)       | 15 |
| [10,15)      | 10 |
| [15,20)      |  3 |
| [20,25)      |  2 |
| <b>Total</b> | 50 |

---

**Solución.** Calculamos las frecuencias absolutas acumuladas

| Tiempo       | <i>f</i><sub>i</sub>|<i>F</i><sub>i</sub> |
|:------------:|:-------------------:|
| [0,5)        | 20 |20|
| [5,10)       | 15 |35|
| [10,15)      | 10 |45|
| [15,20)      |  3 |48|
| [20,25)      |  2 |50|
| <b>Total</b> | 50 ||

Tenemos que `$\frac{n}{2}=\frac{50}{2}=25$`. A partir de la tabla de frecuencias se sigue que
`$$F_k=35\geq \frac{n}{2}=25.$$`

---

Ubicamos la fila donde se encuentra la mediana

---

<br>

Tenemos que 
`$$L_k=5,\quad F_{k-1}=20,\quad f_k=15,\quad A=5$$`

y entonces
`\begin{eqnarray*}
Me&=&L_k+\left(\frac{\frac{n}{2}-F_{k-1}}{f_k}\right)A\\
&=&5+\left(\frac{25-20}{15}\right)5=6\text{.}6667
\end{eqnarray*}`

---

# Propiedades de la mediana

- La mediana no es volátil como la moda. Debido a que es más estable ante cambios en los datos, mientras que la moda puede cambiar rápidamente con pequeñas modificaciones en las frecuencias.

- La mediana, igual que la moda, no es especialmente sensible
a los valores extremos.

- La mediana siempre toma un único valor.

- La mediana es igual a un valor observado si el tamaño de la muestra es un número impar.

- La mediana se puede determinar gráficamente.

---

## Comparación entre medidas de tendencia central

### Respecto a la simetría

---

## Respecto al tipo de variable

La elección de si podemos usar medidas de tendencia central va acorde a la siguiente tabla:

||Nominal|Ordinal|Cuantitativa|
|--|--|--|--|
|Moda|SI|SI|SI|
|Mediana|NO|SI|SI
|Media|NO|NO|SI|

---

# Medidas de Posición

Como una consecuencia del estudio de la mediana, es fácil ampliar este concepto a otros estadísticos que dividen a los datos en otras proporciones y no sólo en mitades como lo hace la mediana. Estas medidas se llaman "cuantiles" o "cuantilas".

## Cuantil

Un **cuantil** es una medida que indica el valor por debajo del cual cae una determinada proporción de observaciones en un grupo de observaciones. Los cuantiles se utilizan en estadística para dividir un grupo de observaciones en grupos del mismo tamaño.

Los cuantiles más usados en el análisis estadístico son: **cuartiles, deciles y percentiles.**

---

### Ejemplo

- El cuantil 0.25 se refiere al valor por debajo del cual cae el 25% de las observaciones, lo que comúnmente se denomina "primer cuartil" o `$Q_1$`.
- Similarmente, el cuantil 0.36 es el valor por debajo del cual cae el 36% de las observaciones.
- Cuantil 0.50: Este cuantil coincide con la mediana, ya que divide el conjunto de datos en dos partes iguales, con el 50% de los datos por debajo de este valor.

### Cuartil
Un cuartil es un tipo de cuantil que divide un grupo de observaciones en cuatro grupos de igual tamaño y se denotan por `$Q_1$`, `$Q_2$` y `$Q_3$`.

---

### Decil
Un decil es una medida que divide un grupo de observaciones en diez grupos de igual tamaño y se denotan por `$D_1$`, `$D_2$`, ..., `$D_9$`.

### Percentil
Un percentil es una medida que indica el valor por debajo del cual cae un cierto porcentaje de observaciones en un grupo de observaciones.

---

## La relación entre cuantiles

La relación que guarda todas las medidas de posición se expone en el siguiente gráfico:

---

## Cálculo de cuantiles con R

El comando que calcula el cuantil es dado por
```
quantile(x,prob,type)
```
- `x` es un vector de datos

- `prob` o (`probs`) se coloca proporciones, o sea numeros entre 0 y 1.

- `type` es el número de método para calcular los cuantiles. Hay varios métodos (del 1 al 9) que se pueden usar dependiendo de cómo deseas que se realicen las interpolaciones. El método predeterminado es `type = 7` el cual explicaremos a continuación.

En la función `quantile()` de R, los argumentos `type=6` y `type=7` se refieren a diferentes métodos de interpolación utilizados para calcular los cuantiles de una distribución. Cada método hace diferentes suposiciones sobre cómo deben distribuirse los datos en los cuantiles.

---

### Método `type=7` (Interpolación Lineal)

El método `type=7` es el método predeterminado en la función `quantile()` de R y es el más comúnmente utilizado en software estadístico. Se basa en una interpolación lineal directa y se puede describir como:
`$$Q(p)=(1-r)x_j+rx_{j+1},$$`
donde `$j$` es la parte entera del valor `$k=(n-1)p+1\;$` y `$\;r$` es la parte fraccionaria. Este método asume una interpolación lineal entre los puntos de datos y tiende a funcionar mejor cuando los datos siguen una distribución continua.

**Ventaja:** Es el estándar en la mayoría de los análisis estadísticos y funciona bien en la mayoría de los casos, especialmente con distribuciones grandes y continuas.

---

## Procedimiento

El método predeterminado que usa R para hallar cuantil `$Q(p)$`, con `$0<p<1$`, sigue los siguientes pasos:

- Ordenar los datos: los datos en `x` deben ser ordenados en orden ascendente.

- Cálculo de la posición: La posición teórica del primer cuartil se calcula utilizando la fórmula:
`$$k=(n-1)\times p+1,$$`
donde `$n$` es el número de elementos en el conjunto de datos `x`. Esto se refiere a la posición del cuantil dentro de la secuencia de datos.

- Si `$k$` es entero, el cuantil correspondiente a la proporción `$p$` es 
`$$Q(p)=x_{k}$$`

---

<br>

- Si `$k$` no es entero, se interpola entre los dos valores adyacentes en el conjunto de datos. Mes precisamente,
`$$Q(p)=x_j+r(x_{j+1}-x_j),$$`
donde `$j\;$` y `$\;r$` son la parte entera y parte decimal de `$k$` respectivamente.

---

#### Ejemplo
> Determine el cuantil 32 para los siguientes datos
<center>1, 12, 4, 13, 8, 9, 10, 5, 10, 2, 7, 14, 20, 17</center>

**Solución.** Veamos primero de manera teórica según el proceso explicado arriba.

- Ordenando:

``` r
x<-c(1, 12, 4, 13, 8, 9, 10, 5, 10, 2, 7, 14, 20, 17)
x<-sort(x);x
```

```
##  [1]  1  2  4  5  7  8  9 10 10 12 13 14 17 20
```

- Cálculo de la posición: Tenemos que `$n=$` 14 y `$p=0.32$`. De modo que `$k$` es

``` r
n=length(x)
p=0.32
k=(n-1)*p+1;k
```

```
## [1] 5.16
```

---

<br>

- Como `$k$` no es entero, interpolaremos considerando la parte entera `$j$` y decimal `$r$` de `$k$`:

``` r
j=k%/%1
cat("j=",j)
```

```
## j= 5
```

``` r
r=k%%1
cat("r=",r)
```

```
## r= 0.16
```
- Por tanto, el cuantil 0.32, que denotaremos por `$q_{32}$` es

``` r
q32=x[j]+r*(x[j+1]-x[j])
q32
```

```
## [1] 7.16
```

---

<br>

- Verifiquemos con R directamente:

``` r
quantile(x,prob = 0.32)
```

```
##  32% 
## 7.16
```

---

### Método `type=6` (Interpolación Inversa)

El método `type=6` usa una interpolación inversa de posiciones para calcular los cuantiles. Específicamente, este método calcula el cuantil `$Q(p)$` en base a:
`$$Q(p)=(1-r)x_j+rx_{j+1},$$`
donde `$j$` es la parte entera del valor `$k=(n+1)p\;$` y `$\;r$` es la parte fraccionaria. Este método se basa en una interpolación lineal entre los datos ordenados, y es adecuado cuando se supone que la variable está distribuida uniformemente entre los puntos de datos. Se utiliza principalmente en métodos estadísticos que dependen de una interpolación más conservadora.

**Ventaja:** Puede ser útil en conjuntos de datos más pequeños y cuando se espera que la distribución sea más uniforme entre los puntos.

---

### Procedimiento

El método para hallar el cuantil `$Q(p)$`, con `$0<p<1$`, sigue los siguientes pasos:

- Ordenar los datos: los datos en `x` deben ser ordenados en orden ascendente.

- Cálculo de la posición: La posición teórica del primer cuartil se calcula utilizando la fórmula:
`$$k=(n+1)\times p,$$`
donde `$n$` es el número de elementos en el conjunto de datos `x`. Esto se refiere a la posición del cuantil dentro de la secuencia de datos.

- Si `$k$` es entero, el cuantil correspondiente a la proporción `$p$` es 
`$$Q(p)=x_{k}.$$`

---

<br>

---

### Ejemplo

> Determinaremos el cuantil 32 para los datos vistos en el ejemplo anterior
<center>1, 12, 4, 13, 8, 9, 10, 5, 10, 2, 7, 14, 20, 17</center>

**Solución.** Veamos primero de manera teórica según el proceso explicado arriba.

- Ordenando:

``` r
x<-c(1, 12, 4, 13, 8, 9, 10, 5, 10, 2, 7, 14, 20, 17)
x<-sort(x)
x
```

```
##  [1]  1  2  4  5  7  8  9 10 10 12 13 14 17 20
```

---

- Cálculo de la posición: Tenemos que `$n=$` 14 y `$p=0.32$`. De modo que `$k$` es

``` r
n=length(x)
p=0.32
k=(n+1)*p
k
```

```
## [1] 4.8
```

- Como `$k$` no es entero, interpolaremos considerando la parte entera `$j$` y decimal `$r$` de `$k$`:

``` r
j=k%/%1
cat("j=",j)
```

```
## j= 4
```

``` r
r=k%%1
cat("r=",r)
```

```
## r= 0.8
```

---

- Por tanto, el cuantil 0.32, que denotaremos por `$q_{32}$` es

``` r
q32=x[j]+r*(x[j+1]-x[j])
q32
```

```
## [1] 6.6
```

- Verifiquemos con R directamente:

``` r
quantile(x,prob = 0.32,type = 6)
```

```
## 32% 
## 6.6
```

---

## Beneficios y Cuándo Usarlos:

`type=6`: Útil para distribuciones discretas o cuando se desea una interpolación más conservadora entre los puntos.

`type=7`: Es adecuado para la mayoría de los conjuntos de datos grandes y continuos, y es el método estándar en muchos paquetes estadísticos.

---

# Medidas de dispersión

Los conjuntos de datos pueden tener el mismo centro pero con aspecto diferente por la forma en que los números se dispersan desde el centro.

La variabilidad o dispersión es una muy importante característica de los datos

---

<br>

Las Medidas de dispersión son medidas que miden el grado de concentración o dispersión de los datos alrededor de un valor central o posición. Las más comunes son:

- Varianza
	
- Desviación estándar 
	
- Coeficiente de variación
	
- Rango
	
- Rango intercuartil

---

## Desviación media

La desviación por la diferencia
`$$d_i = x_i - \overline{x}$$`
mide qué tan lejos están los datos de la media. Sin embargo, la suma de estas desviaciones siempre es igual a
cero.

La **desviación media (DM)** es una medida de dispersión que describe el promedio de las distancias absolutas entre los datos y su media aritmética. Es dada por la expresión
`$$DM=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|d_i|=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i - \overline{x}|.$$`

Interpretación: Desviación Media es el promedio de cuánto se alejan los valores individuales de los datos de la media.

---

#### Ejemplo
> La desviación media de los datos 2, 4, 6, 8 es dada por

``` r
x <- c(2, 4, 6, 8)

# Calcular la media
media <- mean(x)

# Calcular la desviación media
DM <- mean(abs(x - media))
DM
```

```
## [1] 2
```

A diferencia de la varianza y la desviación estándar, que cuadran las diferencias con respecto a la media, la desviación media se basa en las diferencias absolutas, lo que la convierte en una medida más sencilla pero menos utilizada en comparación.

---

## Varianza y desviación estándar

La varianza es una medida estadística que describe la dispersión de los datos en relación con su media. Cuanto mayor sea la varianza, mayor es la dispersión de los datos.

### Varianza en datos no agrupados

### En poblaciones

- Para una población de `$N$` datos no agrupados `$x_1,x_2,\ldots,x_N$` para una población, la *varianza poblacional* es dada por 
`$$\sigma^2=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\left(x_i-\mu\right)^2}{N}.$$`

---

### En muestras

- Para una muestra de `$n$` datos no agrupados `$x_1,x_2,\ldots,x_n$`, la *varianza muestral* es dada por 
`$$s^2=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}.$$`

### Cálculo de la varianza con R (para muestras)

Para hallar la varianza muestral usamos el comando `var()`.

---

### Ejemplo
> Considere los siguientes puntajes
<center>15, 14, 16, 14, 12, 10, 11, 12, 17, 9, 11</center>
>
1. Halle la varianza muestral.
2. Halle la varianza poblacional.

**Solución**

- La varianza muestral es

``` r
x<-c(15, 14, 16, 14, 12, 10, 11, 12, 17, 9, 11)
var(x)
```

```
## [1] 6.563636
```

---

- Para la varianza poblacional, podemos usar lo siguiente

``` r
var_poblacional <- mean((x - mean(x))^2)
var_poblacional
```

```
## [1] 5.966942
```

Otra forma para hallar la varianza poblacional seria mediante el comando `var()`:

``` r
N=length(x)
var(x)*(N-1)/N
```

```
## [1] 5.966942
```

---

### Varianza en datos agrupados sin intervalos
	
-	Si `$x_1,x_2,\ldots, x_k$` son los distintos valores de los datos y `$f_1,f_2,\ldots,f_k$` son sus respectivas frecuencias absolutas, la varianza es dada por 
	`$$S^2=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}.$$`

---

### Desviación Estándar en datos no agrupados

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Es una medida de la dispersión de los datos en las mismas unidades que los datos originales, lo que facilita su interpretación. Al tomar la raíz cuadrada, la desviación estándar evita que los valores se eleven al cuadrado, lo que puede aumentar excesivamente la magnitud de la dispersión.

- Para una población de `$N$` datos no agrupados `$x_1,x_2,\ldots,x_N$` para una población, la *desviación estándar poblacional* es dada por 
`$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\left(x_i-\mu\right)^2}{N}}.$$`

---

- Para una muestra de `$n$` datos no agrupados `$x_1,x_2,\ldots,x_n$`, la *desviación estándar muestral* es dada por 
`$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}}.$$`

---

### Ejemplo
> Halle la desviación estándar muestral para los siguientes puntajes
<center>15, 14, 16, 14, 12, 10, 11, 12, 17, 9, 11</center>

**Solución**

``` r
x<-c(15, 14, 16, 14, 12, 10, 11, 12, 17, 9, 11)
sd(x)
```

```
## [1] 2.561959
```

---

### Ejemplo
> Halle la desviación estándar muestral para los siguientes datos

``` r
x<-c(30,50,10,60,NA,60,35)
x
```

```
## [1] 30 50 10 60 NA 60 35
```

**Solución** Si calulamos directamente obtenemos lo siguiente:

``` r
sd(x)
```

```
## [1] NA
```

Cuando hay datos perdidos debemos usar `na.rm=TRUE`:

``` r
sd(x,na.rm = TRUE)
```

```
## [1] 19.60017
```

---

## Diferencias entre Varianza y Desviación Estándar

- Varianza mide la dispersión promediando los cuadrados de las desviaciones. Esto significa que las desviaciones grandes tienen un mayor impacto en la varianza, ya que se cuadran.

- Desviación estándar mide la dispersión en las mismas unidades que los datos originales, lo que facilita la interpretación. Como es la raíz cuadrada de la varianza, proporciona una medida directa de la distancia promedio de los datos a la media.

---

### Varianza en datos agrupados
	
- **En variable cuantitativa discreta:**	Si `$x_1,x_2,\ldots, x_k$` son los distintos valores de los datos y `$f_1,f_2,\ldots,f_k$` son sus respectivas frecuencias absolutas, la varianza muestral es dada por 
	`$$s^2=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}.$$`

- **En variable cuantitativa discreta:**		Si `$x_1,x_2,\ldots, x_k$` son las marcas de clases de los intervalos de clase y `$f_1,f_2,\ldots,f_k$` son sus respectivas frecuencias absolutas, la varianza muestral es dada por 
	`$$s^2=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_i\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}.$$`
	
---

### Interpretación de la desviación estándar

En los conjuntos de datos con una distribución
aproximadamente simétrica (en forma de campana), se puede aplicar la siguiente interpretación por regla empirica:

- El 68.3\% de los datos se encuentran dentro de una desviación estándar de la media.

- El 95.4\% de los datos se encuentran dentro de dos desviaciones estándar de la media.

- El 99.7\% de los datos se encuentran dentro de tres desviaciones estándar de la media.

---

<br>

---

## Coeficiente de variación (CV)

Es una medida de dispersión relativa, útil para comparar el grado de homogeneidad o concentración en torno a la media de dos o más  series de datos que tengan distintas unidades de medida y/o distintas medias aritméticas.

El coeficiente de variación, denotado por `$CV$`, esta dado por `$$CV=\frac{S}{\overline{x}}\times 100\%.$$`

Entre más pequeño sea el coeficiente de variación los datos serán mas homogéneos, es decir, los datos estarán menos dispersos.

---

### Ejemplo

> Un grupo de estudiantes llevan el curso de Álgebra lineal en Arequipa-Perú (en la escala vigesimal) y obtienen los siguientes resultados
<center>
	15, 13, 15, 19
</center>
Mientras que otro grupo de estudiantes realizan el mismo curso pero en Río de Janeiro-Brasil durante el verano (en la escala decimal), obteniendo los siguientes resultados
<center>
	8, 6, 7, 9, 6
</center>
¿Cuál de los dos grupos de estudiantes tienen notas mas homogéneas?

---

**Solución**

Considere las variables

- `$X$`: Notas de los estudiantes que llevan el curso de Álgebra lineal en Arequipa-Perú

- `$Y$`: Notas de los estudiantes que llevan el curso de Álgebra lineal en Río de Janeiro-Brasil

El coeficiente de variación en la variable `$X$` es

``` r
x<-c(15, 13, 15, 19)
CVx=sd(x)/mean(x)*100
CVx
```

```
## [1] 16.2362
```

El coeficiente de variación en la variable `$Y$` es

``` r
y<-c(8, 6, 7, 9, 6)
CVy=sd(y)/mean(y)*100
CVy
```

```
## [1] 18.1089
```

Como `$CV_X<CV_Y$`, tenemos que notas de los estudiantes que llevan el curso de Álgebra lineal en Arequipa-Perú son más homogéneas. Es decir, las notas de este grupo estan mas cercanas a la media 15.5 que las del otro grupo que tiene media 7.2.

---

## Rango y rango intercuartil

### Rango (o Amplitud total)
Es la diferencia entre el valor mayor y menor de un conjunto de datos. `$$R=x_{max}-x_{min}.$$`

Esta medida solo depende del valor más pequeño y más grande en
el conjunto de datos.

Por lo general, no es tan bueno como las otras medidas de
variación que toman en cuenta todos los valores.

---

### Rango intercuartil (RI)
Es la diferencia entre  los cuartiles superior e inferior, esto es, `$$RI=Q_3-Q_1.$$`

El rango intercuartil representa el rango dentro del cual se encuentra la mitad central de los datos.

---

### Ejemplo

> Halle el rango y rango intercuartil para los siguientes puntajes
<center>15, 14, 16, 14, 12, 10, 11, 12, 17, 9, 11</center>

**Solución**

``` r
x<-c(15, 14, 16, 14, 12, 10, 11, 12, 17, 9, 11)
x
```

```
##  [1] 15 14 16 14 12 10 11 12 17  9 11
```

El rango puede hallarse con

``` r
R=max(x)-min(x)
R
```

```
## [1] 8
```

---

El rango intercuartil puede hallarse con

``` r
IQR(x)
```

```
## [1] 3.5
```

Otra forma es

``` r
Q1=quantile(x,0.25)
Q1
```

```
## 25% 
##  11
```

``` r
Q3=quantile(x,0.75)
Q3
```

```
##  75% 
## 14.5
```

---

En rango intercuartil:

``` r
RI=Q3-Q1
RI
```

```
## 75% 
## 3.5
```

---

# Medidas de forma

Son medidas que nos indican la forma que tiene un histograma y por tal nos explica como están distribuidos los datos.

Estas medidas complementan a las medidas de tendencia central y de dispersión (como la media y la varianza) al proporcionar información sobre la simetría y el achatamiento de la distribución. Las principales medidas de forma son la "asimetría" y la "curtosis".

---

## Asimetría (Skewness)

El concepto de asimetría de una distribución indica la "deformación horizontal" de las distribuciones de frecuencias

Es la medida que indica la simetría de la distribución de una variable respecto a la media aritmética sin necesidad de hacer la representación gráfica

---

### Distribución simétrica

Se dice que una distribución de frecuencias es simétrica si los intervalos equidistantes del intervalo central tienen igual frecuencias. También se dice que una distribución es simétrica si su curva de frecuencias es simétrica con respecto al centro de los datos. En estos casos la media, mediana y moda coinciden.

---

Cuando una distribución es asimétrica, la asimetría puede ser positiva o negativa:

- **Asimetría positiva (sesgo a la derecha):** La cola de la distribución se extiende más hacia los valores mayores (hacia la derecha). En este caso, la mayoría de los valores tienden a estar concentrados en el lado izquierdo.

- **Asimetría negativa (sesgo a la izquierda):** La cola de la distribución se extiende más hacia los valores menores (hacia la izquierda). La mayoría de los valores se encuentran concentrados en el lado derecho.

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### Coeficiente de asimetría

Existen varias medidas de asimetría, a seguir presentamos algunas de ellas:

#### Primer Coeficiente de Pearson (Asimetría Pearson 1)

`$$A_1=\frac{\overline{x}-Me}{s}.$$`

- Compara la media con la mediana y la escala usando la desviación estándar `$s$`.

- Interpretación: según el signo de este coeficiente tenemos lo siguiente:
    + `$A_1<0$` : la distribución es asimétrica negativa (sesgada hacia la izquierda).
    + `$A_1=0$` : sugiere que la distribución es aproximadamente simétrica, pero no garantiza simetría perfecta. Un valor de 0 significa que la distribución no tiene sesgo, lo cual indica que no está inclinada hacia ningún lado (ni hacia la derecha ni hacia la izquierda).
    + `$A_1>0$` : la distribución es asimétrica positiva (sesgada hacia la derecha).

---

### Segundo Coeficiente de Pearson (Asimetría Pearson 2)

`$$A_2=\frac{3(\overline{x}-Mo)}{s}.$$`

- Compara la media con la moda y la escala usando la desviación estándar.

---

<br>

### Coeficiente de Asimetría de Fisher-Pearson (Coeficiente de Asimetría de Pearson Ajustado)

`$$g_1=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^3}{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\right)^{3/2}}$$`
 
- También conocido como asimetría muestral.

- Este coeficiente es una medida más general y se usa ampliamente en análisis estadístico.

- Se basa en el tercer momento central de la distribución, normalizado por la varianza.

---

### Interpretación del Coeficiente de Asimetría de Fisher-Pearson:

- Valor cercano a 0: Sugiere que la distribución es aproximadamente simétrica, pero, nuevamente, no garantiza simetría perfecta. Un valor de 0 significa que la distribución no tiene sesgo, lo cual indica que no está inclinada hacia ningún lado (ni hacia la derecha ni hacia la izquierda).

- Valor positivo: Indica asimetría positiva (sesgo hacia la derecha). La cola derecha de la distribución es más larga o está más cargada de datos.

- Valor negativo: Indica asimetría negativa (sesgo hacia la izquierda). La cola izquierda es más larga o está más cargada de datos.

---

#### Ejemplo

> Considere los siguientes datos: -3, -2, -1, 0, 0, 0, 1, 2, 3

El coeficiente de asimetria es

``` r
# Generar datos con asimetría exactamente cero
datos_simetria_cero <- c(-3, -2, -1, 0, 0, 0, 1, 2, 3)

# Calcular el coeficiente de asimetría
#install.packages("moments")
library(moments)
asimetria <- skewness(datos_simetria_cero)

# Mostrar el coeficiente de asimetría
print(paste("Coeficiente de Asimetría:", round(asimetria, 4)))
```

```
## [1] "Coeficiente de Asimetría: 0"
```

---

Sin embargo, en la grafica no se observa simetria

``` r
# Graficar el histograma de la distribución
hist(datos_simetria_cero, breaks = 5, probability = TRUE, col = "lightblue", 
     main = "Distribución con Asimetría Cero", xlab = "Valores", ylab = "Densidad")

# Superponer una curva de densidad
lines(density(datos_simetria_cero), col = "red", lwd = 2)
```

---

### Coeficiente de Asimetría Cuantil (Asimetría Basada en Cuantiles)

Este coeficiente mide la asimetría usando la mediana y los cuartiles. Existen diferentes fórmulas según el cuantil usado, pero una expresión común es:

`$$A_c=\frac{Q_3+Q_1-2Me}{Q_3-Q_1}.$$`

- Donde `$Q_1$` es el primer cuartil y `$Q_3$` es el tercer cuartil.

- Esto mide el desplazamiento de los cuartiles y la mediana, y se usa para distribuciones asimétricas de manera robusta frente a valores extremos.

---

### Ejemplo

> Considere lo siguientes datos
<center>
4, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 10, 5, 8, 5, 1, 3, 3, 2, 4, 1, 1, 6, 2, 6, 2, 2, 1, 2, 4, 3, 2, 9, 3, 7, 1, 2, 1
</center>
> 
1. Halle el primer coeficiente de asimetria de Pearson e interprete.
2. Halle el primer coeficiente de asimetria de Fisher-Pearson e interprete.

**Solución**

``` r
x<-c(4, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 10, 5, 8, 5, 1, 3, 3, 2, 4, 1, 1, 6, 2, 6, 2, 2, 1, 2, 4, 3, 2, 9, 3, 7, 1, 2, 1)
x
```

```
##  [1]  4  2  1  2  3  1  2 10  5  8  5  1  3  3  2  4  1  1  6  2  6  2  2  1  2
## [26]  4  3  2  9  3  7  1  2  1
```

---

- Halle el primer coeficiente de asimetria de Pearson e interprete.

``` r
(mean(x)-median(x))/sd(x)
```

```
## [1] 0.5207813
```

- Halle el primer coeficiente de asimetria de Fisher-Pearson e interprete.

``` r
library(moments)
skewness(x)
```

```
## [1] 1.27103
```

En ambos caso, obtenemos que es positivo y por tanto la distribución es asimétrica positiva (sesgada hacia la derecha).

---

Ademas, su histograma es dado por

``` r
hist(x,right = F)
```

![](data:image/png;base64,#D6-Medidas-estadisticas_files/figure-html/unnamed-chunk-59-1.png)

---

## Curtosis

Es una medida de deformación vertical que mide la mayor o menor concentración de datos alrededor de la media. Es decir, es un coeficiente de apuntamiento o achatamiento concentrado en torno al pico máximo de una distribución.

La curtosis se mide en comparación a la curva simétrica normal o mesocúrtica. Si la curva es simétrica con curtosis mayor que la normal es denominada curva leptocúrtica y  si la curva es simétrica con curtosis menor que la normal es denominada curva platicúrtica. Todo esto es valido también si la distribución es asimétrica.

---

### Coeficiente de curtosis de Pearson:
`$$K=\frac{Q_3-Q_1}{2(D_9-D_1)}=\frac{P_{75}-P_{25}}{2(P_{90}-P_{10})}.$$`

---

### Coeficiente de curtosis de Fischer:

La función `kurtosis()` en el paquete `moments` calcula la curtosis muestral no centrada (exceso de curtosis) usando la siguiente fórmula:

`$$\frac{m_4}{m_2^2}=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^3}{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\right)^2}$$`
El coeficiente de curtosis de Fischer esta definido como 
`$$g_2=\frac{m_4}{m_2^2}-3=\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^3}{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2\right)^2}-3.$$`

---

|valor de `$g_2$`|Código en R|Interpretación|
|:--:|:--:|---------------|
|$$g_2<0$$|`kurtosis(x)<3`|la distribución es platicúrtica, colas cortas o leve|
|$$g_2=0$$|`kurtosis(x)==3`|la distribución es Mesokúrtica, colas neutras (ni cortas ni largas)|
|$$g_2>0$$|`kurtosis(x)>3`|la distribución es leptocúrtica, colas largas o pesadas

---

---

### Ejemplo

> Halle y interprete la curtosis de Fisher para los datos:
<center>4,8,4,6,8,7,7,7,8,10,9,10,5,9,6,3,6,4,7,6,
     9,7,4,7,6,8,11,7,8,5,6,5,10,8,7,5,6,5</center>
     
**Solución**

``` r
x<-c(4,8,4,6,8,7,7,7,8,10,9,10,5,9,6,3,6,4,7,6,
     9,7,4,7,6,8,11,7,8,5,6,5,10,8,7,5,6,5)
```

Calculemos el valor de `$\frac{m_4}{m_2^2}$`:

``` r
n=length(x)
m4=1/n*sum((x-mean(x))^4)
m2=1/n*sum((x-mean(x))^2)
b2=m4/m2^2
b2
```

```
## [1] 2.423167
```

---

Esta valor coincide con el valor numerico que calcula `kurtosis()`:

``` r
kurtosis(x)
```

```
## [1] 2.423167
```

La curtosis de Fisher es

``` r
g2=kurtosis(x)-3
g2
```

```
## [1] -0.5768333
```
Por tanto, la distribución de las frecuencias es platicúrtica.

---

Adicionalmente, compararemos las graficas del histograma y la curva normal.

``` r
hist(x,probability = TRUE,right = F,ylim = c(0,0.22))
t<-seq(min(x),max(x),length=100)
lines(t, dnorm(t,mean = mean(x),sd=sd(x)), col = "red", lwd = 2)
text(3.5, 0.2,paste("g2=",round(kurtosis(x)-3,2)), col = "blue", cex = 1.2)
```

---

# Diagrama de Cajas y Bigotes

``` r
set.seed(10)
z<-c(sample(118:179,70,replace = T),170,193,197,220,300)
par(mfrow=c(1,2))
boxplot(z,horizontal = T)
hist(z,right = F)
```

``` r
stem(z,1)
```

```
## 
##   The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |
## 
##   12 | 14445556778900122235689
##   14 | 111223334455666789000145668999
##   16 | 023577778001124456
##   18 | 37
##   20 | 
##   22 | 0
##   24 | 
##   26 | 
##   28 | 
##   30 | 0
```