Interés compuesto
El interés compuesto se define como aquel interés (costo del dinero) donde la tasa \(i\) se aplica sobre el capital inicial \(P\) más los intereses \(I\) generados periódicamente. O lo que es lo mismo. Los intereses \(I\) generados se capitalizan. El interés simple tiene aplicaciones en el mercado informal, más no financiero. El interés compuesto es de uso permanente tanto para préstamos como para inversiones en el sector financiero (Fernández Navarrete, 2017).
Suponiendo una inversión de \(\$100.000\) realizada a \(5~meses\), con una tasa de \(5\% ~mensual\). El comportamiento periódico mensual se muestra en la siguiente tabla:
| n | P | I | S |
|---|---|---|---|
| 0 | 100000.0 | NA | NA |
| 1 | 100000.0 | 5000.000 | 105000.0 |
| 2 | 105000.0 | 5250.000 | 110250.0 |
| 3 | 110250.0 | 5512.500 | 115762.5 |
| 4 | 115762.5 | 5788.125 | 121550.6 |
| 5 | 121550.6 | 6077.531 | 127628.2 |
Para:
- En el \(Mes~1\) el cálculo de los intereses \(I_1 = \$5000\) se realiza aplicando \(i=5\%\) sobre \(P_1 = \$100.000\)
- En el \(Mes~2\) el cálculo de los intereses \(I_2= \$5250\) se realiza sobre \(P_2 = \$105.000\) que resulta de la suma: \(S_1=P_1+I_1\).
- En el \(Mes~3\) el cálculo de los intereses \(I_3= \$5512,50\) se realiza sobre \(P_3 = \$110.250\) que resulta de la suma: \(S_2=P_2+I_2\).
- En el \(Mes~4\) el cálculo de los intereses \(I_4= \$5788,13\) se realiza sobre \(P_4 = \$115.762,50\) que resulta de la suma: \(S_3=P_3+I_3\).
- En el \(Mes~5\) el cálculo de los intereses \(I_5= \$6077,53\) se realiza sobre \(P_5 = \$121.550,63\) que resulta de la suma: \(S_4=P_4+I_4\).
Por lo que \(P= \$100.000\) invertidos a una tasa \(i=5\%~mensual\) se convierten al final de \(n=5\) en \(S=\$127.628,16\), la anterior relación se obtiene con la siguiente expresión:
\[S=P(1+i)^n\].
Ejemplo 1, cálculo de monto final
Calcular el monto final, de una inversión de $ 3.000.000 realizada el 23 de mayo de 2022 hasta el 23 de mayo de 2025 35% anual de interés compuesto
Solución
- Representación gráfica
- Datos del problema
- \(S =¿?\)
- \(P=3.000.000\)
- \(i=35\%~anual\)
- \(n=3~años\)
- Respuesta
Para el Cálculo de \(S\) usamos la expresión: \[S=P(1+i)^n\]
Entonces: \[S=3.000.000(1+(\frac{35}{100}))^3\]
\[S=\$7.381.125\]
Ejemplo 2, Cálculo de capital inicial
¿Cuánto dinero debo depositar el 25 de abril del presente año en una inversión que paga el 23% anual compuesto para que el 25 de abril de 2030 pueda retirar $ 60.000.000?
Solución
- Representación gráfica
- Datos del problema
- \(P=¿?\)
- \(i=23\%~anual\)
- \(n=7~años\)
- \(S=\$60.000.000\)
- Respuesta
De la ecuación \(S=P(1+i)^n\) podemos obtener:
\[P=\frac{S}{(1+i)^n}\]
Entonces:
\[P=\frac{60.000.000}{(1+(\frac{23}{100}))^7}=\$14.086.901,25\]
Ejemplo 3, cálculo de tasa de interés
¿A qué tasa de interés compuesto se de debe invertir \(\$1.000.000\) para que dentro de 3 años se tengan $1.500.000?
Solución
- Representación gráfica
- Datos
- \(i=¿?\)
- \(P=\$1.000.000\)
- \(n=3~años\)
- \(S=\$1.500.000\)
- Respuesta.
Usaremos la expresión \(S=P(1+i)^n\), por lo tanto:
\[1.500.000=1.000.000(1+i)^3\Rightarrow\]
\[\Rightarrow\sqrt[3]{\frac{1.500.000}{1.000.000}}=1+i\Rightarrow\]
\[\Rightarrow\sqrt[3]{\frac{1.500.000}{1.000.000}}-1=i\Rightarrow\] \[i=0,1447142426\approx14,47\%~anual\]