Latihan Soal 1

Diketahui matriks A, B, dan C.

  1. Tentukan akar ciri dan vektor ciri dari matriks tersebut

  2. Apakah matriks A, B, dan C merupakan matriks definit positif?

A <- matrix(c(9, 1, 1, 9), 2, 2)
akarCiriA <- eigen(A)$values
vektorCiriA <- eigen(A)$vectors

A
##      [,1] [,2]
## [1,]    9    1
## [2,]    1    9
akarCiriA
## [1] 10  8
vektorCiriA
##           [,1]       [,2]
## [1,] 0.7071068 -0.7071068
## [2,] 0.7071068  0.7071068

Jadi, akar ciri untuk matriks A adalah 10 dan 8 dengan vektor cirinya (1, 1) dan (-1, 1).

# A dikatakan matriks definit positif dibuktikan dengan x'Ax > 0
x1 <- matrix(c(1, 1), ncol=1)
t_x1 <- t(x1)
t_x1 %*% A %*% x1
##      [,1]
## [1,]   20
x2 <- matrix(c(-1, 1), ncol=1)
t_x2 <- t(x2)
t_x2 %*% A %*% x2
##      [,1]
## [1,]   16

Jadi, karena hasil dari x’Ax untuk kedua vektor ciri matriks A adalah 20>0 dan 16>0, maka terbukti matriks A merupakan matriks definit positif.

B <- matrix(c(2, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0), 3, 3)
akarCiriB <- eigen(B)$values
vektorCiriB <- eigen(B)$vectors

B
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    0    0
## [2,]    0    4    0
## [3,]    0    0    0
akarCiriB
## [1] 4 2 0
vektorCiriB
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    0    1    0
## [2,]    1    0    0
## [3,]    0    0    1

Jadi, akar ciri untuk matriks B adalah 4, 2, dan 0, dengan vektor ciri (0, 1, 0), (1, 0, 0), dan (0, 0, 1).

# B dikatakan matriks definit positif dibuktikan dengan x'Bx > 0
x1 <- matrix(c(0, 1, 0), ncol=1)
t_x1 <- t(x1)
t_x1 %*% B %*% x1
##      [,1]
## [1,]    4
x2 <- matrix(c(1, 0, 0), ncol=1)
t_x2 <- t(x2)
t_x2 %*% B %*% x2
##      [,1]
## [1,]    2
x3 <- matrix(c(0, 0, 1), ncol=1)
t_x3 <- t(x3)
t_x3 %*% B %*% x3
##      [,1]
## [1,]    0

Jadi, karena hasil dari x’Bx untuk ketiga vektor ciri matriks B adalah 4>0, 2>0, dan 0=0, maka terbukti matriks B bukan matriks definit positif, tetapi matriks semidefinit positif.

C <- matrix(c(1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1), 3, 3)
akarCiriC <- eigen(C)$values
vektorCiriC <- eigen(C)$vectors

C
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0    0
## [2,]    0    1    0
## [3,]    0    0    1
akarCiriC
## [1] 1 1 1
vektorCiriC
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    0    0    1
## [2,]    0    1    0
## [3,]    1    0    0

Jadi, akar ciri untuk matriks C adalah 1, 1, dan 1 dengan vektor cirinya (0, 0, 1), (0, 1, 0), dan (1, 0, 0).

# C dikatakan matriks definit positif dibuktikan dengan x'Cx > 0
x1 <- matrix(c(0, 0, 1), ncol=1)
t_x1 <- t(x1)
t_x1 %*% C %*% x1
##      [,1]
## [1,]    1
x2 <- matrix(c(0, 1, 0), ncol=1)
t_x2 <- t(x2)
t_x2 %*% C %*% x2
##      [,1]
## [1,]    1
x3 <- matrix(c(1, 0, 0), ncol=1)
t_x3 <- t(x3)
t_x3 %*% C %*% x3
##      [,1]
## [1,]    1

Jadi, karena hasil dari x’Bx untuk kedua vektor ciri matriks B adalah 1>0, 1>0 dan 1>0, maka terbukti matriks C merupakan matriks definit positif.

Latihan Soal 2

Diketahui suatu matriks ragam peragam. Tentukan matriks korelasi dari matriks ragam peragam tersebut.

Sigma <- matrix(c(25, -2, 4, -2, 4, 1, 4, 1, 9), nrow=3, byrow=TRUE)
print(Sigma)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   25   -2    4
## [2,]   -2    4    1
## [3,]    4    1    9
R <- cov2cor(Sigma)

print("matriks korelasi:")
## [1] "matriks korelasi:"
print(R)
##            [,1]       [,2]      [,3]
## [1,]  1.0000000 -0.2000000 0.2666667
## [2,] -0.2000000  1.0000000 0.1666667
## [3,]  0.2666667  0.1666667 1.0000000