Professor: Marinho Gomes de Andrade Filho

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1. A série temporal

Abaixo temos o gráfico de temperaturas máximas diária em Melbourne, Australia, 1981-1990. Os dados podem ser baixados no seguinte link https://datamarket.com/data/set/2323/daily-maximum-temperatures-in-melbourne-australia-1981-1990#!ds=2323&display=line

Vemos que nossa série não tem tendência, mas claramente tem sazonalidade. Portanto vamos adotar o seguinte modelo:

\(X_t = S_t + Z_t\) , onde \(S_t\) é componente sazonal e \(Z_t\) é componente estocástica

Utilizando o modelo não paramétrico para sazonalidade temos que um estimador é dado por

\(\hat{\mu}_m = \frac{1}{n} \sum\limits_{r=1}^{n}X_{r,m}\), onde \(n \in (1,10)\) e \(m \in (1,365)\)

No código abaixo aplicamos esse estimador para sazonalidade em nossa série

#lendo os dados
data = read.csv("daily-maximum-temperatures-in-me.csv",sep=",",header=T)

aux = data
for(i in 1:365)
{
  for(k in 1:9)
  {
    aux[i,2] = aux[i,2] + aux[i+(k*365),2]
  }
}
aux[,2] = aux[,2]/10
sazo = rep(aux[1:365,2],10)

Portando nossa sazonalidade estimada fica

Estraindo a sazonalidade da série ficamos com a seguinte série só com a componente estocástica \((Z_t)\)

2. Escolha do Modelo

Pelos gráficos de auto-correlação e auto-correlação parcial vemos que um modelo para componente estocástica pode ser o MA(q=2), assim como outros modelos com parametro igual a 2.

Vamos testar os seguintes modelos analisando os resíduos e depois comparar o AIC e BIC para decidir qual deles usar, onde quanto menor o valor dessas medidas, melhor o modelo.

## Series: tsnosazo 
## ARIMA(2,0,0) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1      ar2  intercept
##       0.5010  -0.1315    -0.0006
## s.e.  0.0164   0.0164     0.0958
## 
## sigma^2 estimated as 13.32:  log likelihood=-9904.05
## AIC=19816.1   AICc=19816.11   BIC=19840.91

## Series: tsnosazo 
## ARIMA(0,0,2) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ma1     ma2  intercept
##       0.4981  0.1269     0.0002
## s.e.  0.0163  0.0167     0.0982
## 
## sigma^2 estimated as 13.33:  log likelihood=-9905.53
## AIC=19819.06   AICc=19819.07   BIC=19843.87

## Series: tsnosazo 
## ARIMA(2,0,2) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1      ar2      ma1     ma2  intercept
##       0.5291  -0.1725  -0.0307  0.0362    -0.0007
## s.e.  0.1673   0.0547   0.1675  0.0551     0.0943
## 
## sigma^2 estimated as 13.31:  log likelihood=-9903.42
## AIC=19818.84   AICc=19818.86   BIC=19856.06

## Series: ts2 
## ARIMA(2,1,2)                    
## 
## Coefficients:
##          ar1      ar2      ma1     ma2
##       0.8216  -0.3108  -1.2657  0.3334
## s.e.  0.0811   0.0349   0.0838  0.0776
## 
## sigma^2 estimated as 15.54:  log likelihood=-10184.27
## AIC=20378.54   AICc=20378.55   BIC=20409.55

Todos os modelos parecem ter resíduos não normais e não correlacionados, como visto nos gráficos de auto-correlação. Contudo o melhor modelo é o AR(2), pois possui o menor AIC e BIC.

3. Previsão