Para una Variable Categórica

El objetivo es mostrar la frecuencia o proporción de cada categoría.

• Gráfico de Barras: Muestra la frecuencia (conteo) de cada categoría.
• Gráfico Circular (Pastel): Muestra la proporción de cada categoría. Generalmente se desaconseja porque es difícil comparar el tamaño de las porciones, pero es popular.

Para una Variable Numérica

El objetivo es entender la distribución de los datos: su forma, centro y dispersión.

• Histograma: Agrupa los números en rangos y muestra la frecuencia de cada rango. Es excelente para ver la forma de la distribución.
• Diagrama de Caja y Bigotes (Boxplot): Resume la distribución mostrando la mediana, los cuartiles y los valores atípicos. Es muy útil para comparar distribuciones.

Categórica vs. Categórica

El objetivo es comparar las proporciones de una variable a través de las categorías de otra.

• Gráfico de Barras Agrupado: Compara directamente las frecuencias de una variable dentro de cada categoría de la otra.

Numérica vs. Categórica

El objetivo es comparar la distribución de una variable numérica entre diferentes grupos.

• Diagrama de Caja y Bigotes por Grupo: Es la mejor opción para comparar visualmente las medianas, la dispersión y los valores atípicos entre varios grupos.

Numérica vs. Numérica Scatter Plot

El objetivo es visualizar la relación entre dos variables numéricas.

• Gráfico de Dispersión: Cada punto representa una observación. Permite ver patrones, tendencias (positivas o negativas) y la fuerza de la relación.

Ejemplo en R

Una fábrica tiene dos máquinas, A y B. La máquina A produce el 60% de los artículos y la B el 40%. El 2% de los artículos de A son defectuosos, y el 4% de B son defectuosos. Si seleccionamos un artículo al azar y es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A?

# Probabilidades a priori
p_A <- 0.60
p_B <- 0.40

# Probabilidades condicionales (D = Defectuoso)
p_D_dado_A <- 0.02
p_D_dado_B <- 0.04

# 1. Calcular el numerador: P(D|A) * P(A)
numerador <- p_D_dado_A * p_A

# 2. Calcular el denominador (Probabilidad Total de ser defectuoso)
# P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B)
denominador <- (p_D_dado_A * p_A) + (p_D_dado_B * p_B)

# 3. Aplicar la Regla de Bayes: P(A|D)
p_A_dado_D <- numerador / denominador

cat("La probabilidad de que el artículo defectuoso provenga de la máquina A es:", round(p_A_dado_D, 3), "\n")

## La probabilidad de que el artículo defectuoso provenga de la máquina A es: 0.429

Interpretación del Output en R

El código calcula la probabilidad condicional inversa. El output 0.429 significa que, si encontramos un artículo defectuoso, existe un 42.9% de probabilidad de que haya sido fabricado por la Máquina A.

Variables Aleatorias Discretas

Toman un número contable de valores. * Distribución Binomial: Modela el número de “éxitos” en una serie de \(n\) ensayos independientes. * Distribución de Poisson: Modela el número de veces que ocurre un evento en un intervalo de tiempo o espacio.

Variables Aleatorias Continuas

Pueden tomar cualquier valor dentro de un rango. * Distribución Normal: La “curva de campana”, definida por su media (\(\mu\)) y desviación estándar (\(\sigma\)). * Distribución t de Student: Similar a la normal pero con “colas más pesadas”, usada para muestras pequeñas (\(n<30\)). * Distribución Chi-Cuadrado (\(\chi^2\)): Asimétrica y usada para pruebas de varianza. * Distribución F de Fisher: Se define como el cociente de dos variables Chi-cuadrado y es la base del ANOVA.

Fórmulas de Probabilidad en R

Aquí te muestro cómo calcular probabilidades para cada distribución con un ejemplo práctico.

# --- Distribuciones Discretas ---

# 1. Binomial: P(X=k) -> dbinom(k, n, p)
# ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 7 caras en 10 lanzamientos de una moneda justa?
dbinom(x = 7, size = 10, prob = 0.5)

## [1] 0.1171875

# 2. Poisson: P(X=k) -> dpois(k, lambda)
# Si un call center recibe en promedio 5 llamadas por minuto (lambda=5), 
# ¿cuál es la probabilidad de que reciba exactamente 3 llamadas en un minuto?
dpois(x = 3, lambda = 5)

## [1] 0.1403739

# --- Distribuciones Continuas ---

# 1. Normal: P(X <= x) -> pnorm(x, mean, sd)
# Las calificaciones de un examen siguen una N(mu=80, sigma=5).
# ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante saque menos de 85?
pnorm(q = 85, mean = 80, sd = 5)

## [1] 0.8413447

# 2. t de Student: P(T <= t) -> pt(t, df)
# ¿Cuál es la probabilidad de observar un valor t menor o igual a -2.1 con 15 grados de libertad?
pt(q = -2.1, df = 15)

## [1] 0.02652763

# 3. Chi-Cuadrado: P(X^2 <= x) -> pchisq(x, df)
# ¿Cuál es la probabilidad de que un estadístico Chi-cuadrado con 10 grados de libertad sea MAYOR a 18.3?
# Usamos lower.tail = FALSE para la cola derecha (P > x)
pchisq(q = 18.3, df = 10, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.05010906

# 4. F de Fisher: P(F <= f) -> pf(f, df1, df2)
# ¿Cuál es la probabilidad de un estadístico F mayor a 3.3, 
# con 5 grados de libertad en el numerador y 10 en el denominador?
pf(q = 3.3, df1 = 5, df2 = 10, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.05106161

Interpretación del Output en R

• dbinom: La probabilidad de obtener exactamente 7 caras en 10 lanzamientos es de aproximadamente 11.7%.
• dpois: La probabilidad de recibir exactamente 3 llamadas en un minuto es de aproximadamente 14%.
• pnorm: La probabilidad de que un estudiante saque menos de 85 es del 84.1%.
• pt: La probabilidad de obtener un valor t de -2.1 o menos con 15 gl es del 2.6%.
• pchisq: La probabilidad de que un estadístico \(\chi^2\) sea mayor a 18.3 con 10 gl es del 5%.
• pf: La probabilidad de que un estadístico F sea mayor a 3.3 con 5 y 10 gl es de aproximadamente 5.1%.

Comparación de Medias (2 grupos): Prueba t de Student

Compara las medias de una variable numérica entre dos grupos.

Ejemplo en R

``` r
# Supongamos que tenemos dos vectores de datos
grupo_con_subsidio <- rnorm(45, mean = 68.2, sd = 9.5)
grupo_sin_subsidio <- rnorm(40, mean = 63.7, sd = 10.1)

# Realizar la prueba t
resultado_t <- t.test(grupo_con_subsidio, grupo_sin_subsidio)
print(resultado_t)
```

```
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  grupo_con_subsidio and grupo_sin_subsidio
## t = 3.0743, df = 82.04, p-value = 0.002865
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##   2.580901 12.045163
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  68.53440  61.22137
```

Interpretación del Output en R

Busca principalmente el p-value. Si es menor que tu nivel de significancia (ej. 0.05), concluyes que hay una diferencia estadísticamente significativa entre las medias de los dos grupos. El 95 percent confidence interval te da un rango para la diferencia de las medias.

Comparación de Medias (>2 grupos): ANOVA

Compara las medias de una variable numérica entre tres o más grupos.

Ejemplo en R

``` r
# Suponiendo que los datos están en un dataframe 'datos'
# con columnas 'glucosa' (numérica) y 'clinica' (categórica)
# modelo_anova <- aov(glucosa ~ clinica, data = datos)
# summary(modelo_anova)
```

Interpretación del Output en R

En la tabla de resumen, busca el F value y su Pr(>F) (el p-valor). Un p-valor bajo significa que al menos uno de los grupos tiene una media diferente de los demás.

Prueba Chi-Cuadrado (\(\chi^2\)) de Independencia

Determina si existe una asociación entre dos variables categóricas.

• Fórmula: \[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}} \] ### Ejemplo en R

  # Crear una tabla de contingencia a partir del PDF
  datos_tabla <- matrix(c(0, 8, 5, 3, 7, 1), nrow = 3, byrow = TRUE)
  colnames(datos_tabla) <- c("No Pobreza", "Sí Pobreza")
  rownames(datos_tabla) <- c("Básica", "Media", "Superior")
  
  # Realizar la prueba Chi-cuadrado
  resultado_chi <- chisq.test(datos_tabla)

  ## Warning in chisq.test(datos_tabla): Chi-squared approximation may be incorrect

  print(resultado_chi)

  ## 
  ##  Pearson's Chi-squared test
  ## 
  ## data:  datos_tabla
  ## X-squared = 13, df = 2, p-value = 0.001503

  Interpretación del Output en R

  El X-squared es el valor del estadístico \(\chi^2\). El p-value es la clave: si es bajo (ej. < 0.05), rechazas la hipótesis de independencia y concluyes que hay una asociación significativa entre las dos variables.

Correlación de Pearson

Mide la fuerza y la dirección de la relación lineal entre dos variables.

Ejemplo en R

``` r
años_edu <- c(6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
ingreso <- c(1.8, 2.0, 2.6, 2.4, 3.2, 2.9, 3.0)

# Calcular correlación
cor(años_edu, ingreso)
```

```
## [1] 0.8861943
```

Interpretación del Output en R

El resultado es un único número entre -1 y 1. Un valor cercano a 1 (como 0.89 en el ejemplo) indica una fuerte relación lineal positiva. Un valor cercano a -1 indica una fuerte relación lineal negativa. Un valor cercano a 0 indica una relación lineal débil o nula.

Regresión Lineal Simple

Modela la relación entre dos variables para hacer predicciones.

Fórmula del Modelo

$$
Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i
$$

Ejemplo en R

``` r
horas_redes <- c(7, 4, 8, 5, 7, 9, 5, 3, 6, 6)
nota <- c(2.6, 2.6, 2.3, 2.7, 2.5, 2.2, 2.7, 3.0, 2.5, 2.5)

# Crear el modelo de regresión
modelo_reg <- lm(nota ~ horas_redes)
summary(modelo_reg)
```

```
## 
## Call:
## lm(formula = nota ~ horas_redes)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -0.180 -0.055  0.000  0.045  0.150 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  3.22000    0.11473  28.066  2.8e-09 ***
## horas_redes -0.11000    0.01837  -5.988 0.000328 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.1006 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8176, Adjusted R-squared:  0.7948 
## F-statistic: 35.85 on 1 and 8 DF,  p-value: 0.0003279
```

Interpretación del Output en R

* **Coefficients**:
    * `Estimate` para `(Intercept)` es $\hat\beta_0$: el valor predicho de la nota cuando `horas_redes` es 0.
    * `Estimate` para `horas_redes` es $\hat\beta_1$: el cambio en la nota por cada aumento de una unidad en `horas_redes`. Aquí (-0.110) significa que por cada hora extra, la nota baja 0.110 puntos.
    * `Pr(>|t|)`: Es el p-valor para cada coeficiente. Si es bajo (<0.05), el coeficiente es estadísticamente significativo.
* **Adjusted R-squared**: Indica el porcentaje de la variabilidad de la variable dependiente (nota) que es explicado por el modelo (0.7948 o 79.48%). Un valor más alto significa un mejor ajuste del modelo.

Ejemplo en R

# Generamos un conjunto de datos para el ejemplo
set.seed(123)
datos_normales <- rnorm(100, mean = 50, sd = 10) # Datos que sí son normales
datos_no_normales <- rexp(100, rate = 0.1)     # Datos que no son normales (exponencial)

# Verificación para los datos normales
qqnorm(datos_normales)
qqline(datos_normales, col = "red")

shapiro.test(datos_normales)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  datos_normales
## W = 0.99388, p-value = 0.9349

# Verificación para los datos no normales
qqnorm(datos_no_normales)
qqline(datos_no_normales, col = "navy")

shapiro.test(datos_no_normales)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  datos_no_normales
## W = 0.87396, p-value = 1.016e-07

Interpretación del Output en R

Para datos_normales: El gráfico Q-Q muestra los puntos muy cerca de la línea roja. El test de Shapiro-Wilk arroja un p-valor alto (p = 0.9349), mucho mayor a 0.05. Ambas pruebas sugieren que los datos son normales.

Para datos_no_normales: Los puntos en el gráfico Q-Q se desvían sistemáticamente de la línea azul. El test de Shapiro-Wilk da un p-valor muy bajo (p < 0.0001), por lo que rechazamos la hipótesis nula y concluimos que los datos no son normales.

2. Supuesto de Homogeneidad de Varianzas (Homocedasticidad) Pruebas como el t-test y ANOVA asumen que las varianzas de los grupos que se comparan son iguales. En regresión, se asume que la varianza de los errores es constante a lo largo de los valores predichos.

Para t-test y ANOVA: Test de Levene Prueba formal donde H_0: “las varianzas de los grupos son iguales”.

Si p-value > 0.05: Se asume que las varianzas son homogéneas.

Si p-value ≤ 0.05: Las varianzas no son homogéneas.

Para Regresión Lineal: Gráfico de Residuos vs. Valores Ajustados Este gráfico no debe mostrar ningún patrón (como una forma de embudo). Los puntos deben dispersarse aleatoriamente alrededor de la línea horizontal en cero.

Ejemplo en R

# --- Para ANOVA ---
# Cargamos el paquete 'car' para el test de Levene
# install.packages("car")
library(car)

## Warning: package 'car' was built under R version 4.4.3

## Cargando paquete requerido: carData

## Warning: package 'carData' was built under R version 4.4.3

# Creamos datos de ejemplo
grupo_a <- rnorm(30, mean = 10, sd = 5)
grupo_b <- rnorm(30, mean = 12, sd = 5.5) # Varianzas similares
grupo_c <- rnorm(30, mean = 10, sd = 15)  # Varianza muy diferente

datos_homogeneos <- data.frame(valor = c(grupo_a, grupo_b), grupo = rep(c("A", "B"), each = 30))
datos_heterogeneos <- data.frame(valor = c(grupo_a, grupo_c), grupo = rep(c("A", "C"), each = 30))

# Prueba de Levene para varianzas homogéneas
leveneTest(valor ~ grupo, data = datos_homogeneos)

## Warning in leveneTest.default(y = y, group = group, ...): group coerced to
## factor.

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value Pr(>F)
## group  1  0.0321 0.8585
##       58

# Prueba de Levene para varianzas no homogéneas
leveneTest(valor ~ grupo, data = datos_heterogeneos)

## Warning in leveneTest.default(y = y, group = group, ...): group coerced to
## factor.

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value    Pr(>F)    
## group  1  21.593 1.986e-05 ***
##       58                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Interpretación del Output en R

• Para datos_homogeneos: El p-valor (Pr(>F)) es 0.85, que es mayor a 0.05. No rechazamos H_0 y concluimos que las varianzas son homogéneas.

• Para datos_heterogeneos: El p-valor es muy bajo (< 0.001). Rechazamos H_0 y concluimos que las varianzas son diferentes entre los grupos.

Ejemplo en R

# Usamos el conjunto de datos integrado 'iris'
# ¿Existen diferencias en el ancho del sépalo (Sepal.Width) entre las 3 especies de flores?

# 1. Realizamos el ANOVA
modelo_iris_anova <- aov(Sepal.Width ~ Species, data = iris)
summary(modelo_iris_anova) # El p-valor es muy bajo, ¡así que procedemos!

##              Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)    
## Species       2  11.35   5.672   49.16 <2e-16 ***
## Residuals   147  16.96   0.115                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

# 2. Realizamos la prueba Post-Hoc de Tukey
tukey_resultado <- TukeyHSD(modelo_iris_anova)
print(tukey_resultado)

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = Sepal.Width ~ Species, data = iris)
## 
## $Species
##                        diff         lwr        upr     p adj
## versicolor-setosa    -0.658 -0.81885528 -0.4971447 0.0000000
## virginica-setosa     -0.454 -0.61485528 -0.2931447 0.0000000
## virginica-versicolor  0.204  0.04314472  0.3648553 0.0087802

Interpretación del Output en R

El resultado de TukeyHSD muestra una tabla con las comparaciones:

• setosa-versicolor: Compara estas dos especies.

• virginica-setosa: Compara estas dos especies.

• virginica-versicolor: Compara estas dos especies.

Para cada par, fíjate en la columna p adj (p-valor ajustado). En el ejemplo, todos los p-valores son muy bajos (< 0.05). Esto significa que las medias del ancho del sépalo son estadísticamente diferentes entre todos los pares de especies.