Introducción

Este documento es la base para resolver, la actividad 1 Algebra Lineal del módulo de Fundamentos de Matemáticas y estadística.

Pregunta 1

¿Cúal es la norma del vectorv = (3, 4)

pq1=c (3,4)
sqrt(sum(pq1^2))# RESULTADO 5
## [1] 5

Pregunta 2

¿Cúal es el ángulo entre los vectores u=(1,0)y v=(0,1)

p2v1<-c(1,0)
p2v2<-c(0,1)

#producto punto
pd=sum(p2v1*p2v2)
pd # 0
## [1] 0
#Normas

np2v1=sqrt(sum(p2v1^2))
np2v2=sqrt(sum(p2v2^2))

#angulos
trad=acos(pd/(np2v1*np2v2))
tgrad=trad*180/pi
tgrad# R=90 
## [1] 90

Pregunta 3

¿Cúal es el determinante de la matriz X (2,1,3,4)

El determinante es un número que se obtiene de una matriz cuadrada y sirve para saber si tiene inversa y cuánto “escala” áreas o volúmenes.

Determinante: El determinante nos dice si una matriz se puede invertir, ayuda a resolver sistemas y mide el “tamaño” del espacio que abarca la matriz.

pq3=matrix(c(2,1,3,4), nrow=2, byrow=TRUE)
pq3
##      [,1] [,2]
## [1,]    2    1
## [2,]    3    4
det(pq3)#Calcular Determinante R 5 
## [1] 5

Pregunta 4

¿Cual es la proyeccion del v=(2,3) sobre el eje x?

v=c(2,3)  #crear el vector
u=c(1,0)# Esta es la dirección del vector en X

proyeccion <- (sum(v*u) / sum(u^2)) * u 
proyeccion # Resultado 2,0 
## [1] 2 0

Pregunta 5

¿Cúal es la matriz inversa de w=(1,0, 0, -1)?

Proceso:

  1. creo una matriz pq5, le asigno los valores (c),
  2. le digo que son dos filas y que haga un llenado por filas
  3. Uso la operacion Solve para Hallar la inversa
  4. La inversa es igual a la matriz original
  5. Pruebo que está bien multiplicando las matrices
  6. El resultado es la Matriz de identidad entonces está bien la operación
pq5<-matrix(c(1,0, 0, -1), nrow = 2, byrow =TRUE)
pq5
##      [,1] [,2]
## [1,]    1    0
## [2,]    0   -1
#para sacar la inversa uso la funcion solve para hallar la inversa

pq5inv=solve(pq5)
pq5
##      [,1] [,2]
## [1,]    1    0
## [2,]    0   -1
pq5inv 
##      [,1] [,2]
## [1,]    1    0
## [2,]    0   -1
#Respuesta  Es su propia inversa, para verificar que sea la inversa al 
#multiplicarlas ambas debe dar la matriz de identida (1,0,1,0)

Maid=pq5%*%pq5inv 
Maid 
##      [,1] [,2]
## [1,]    1    0
## [2,]    0    1
#En maid quedo guardada la multiplicación de las matrices, 
#y al dar la matriz de identidad se compruenba  que la matriz inversa quedó bien

Pregunta 6

El sistema x+y=2 2x+2y=4

# Queremos resolver el sistema:
# x + y = 2
# Entonces, despejamos: y = 2 - x

# 1. Definimos un rango de valores para x
#    Aquí vamos a probar valores de -10 hasta 10
x_vals <- -10:10   

# 2. Creamos un data.frame vacío donde guardaremos las soluciones
soluciones <- data.frame(x = numeric(), y = numeric())

# 3. Usamos un ciclo for para recorrer todos los valores de x
for (x in x_vals) {
  
  # Calculamos y con la ecuación y = 2 - x
  y <- 2 - x
  
  # Mostramos el resultado en pantalla
  cat("x =", x, " => y =", y, "\n")
  
  # Guardamos la pareja (x,y) en la tabla de soluciones
  soluciones <- rbind(soluciones, data.frame(x = x, y = y))
}
## x = -10  => y = 12 
## x = -9  => y = 11 
## x = -8  => y = 10 
## x = -7  => y = 9 
## x = -6  => y = 8 
## x = -5  => y = 7 
## x = -4  => y = 6 
## x = -3  => y = 5 
## x = -2  => y = 4 
## x = -1  => y = 3 
## x = 0  => y = 2 
## x = 1  => y = 1 
## x = 2  => y = 0 
## x = 3  => y = -1 
## x = 4  => y = -2 
## x = 5  => y = -3 
## x = 6  => y = -4 
## x = 7  => y = -5 
## x = 8  => y = -6 
## x = 9  => y = -7 
## x = 10  => y = -8
# 4. Al final, mostramos la tabla completa
print(soluciones)
##      x  y
## 1  -10 12
## 2   -9 11
## 3   -8 10
## 4   -7  9
## 5   -6  8
## 6   -5  7
## 7   -4  6
## 8   -3  5
## 9   -2  4
## 10  -1  3
## 11   0  2
## 12   1  1
## 13   2  0
## 14   3 -1
## 15   4 -2
## 16   5 -3
## 17   6 -4
## 18   7 -5
## 19   8 -6
## 20   9 -7
## 21  10 -8
# 5. (Opcional) Graficamos las soluciones para ver la recta
plot(soluciones$x, soluciones$y, type="p", col="blue", pch=19,
     xlab="x", ylab="y", main="Soluciones del sistema x+y=2")
abline(a=2, b=-1, col="red", lwd=2)  # recta completa

#Respuesta soluciones infinitas