Tasas de Interés

Tasa de interés simple

\[ VF = VP \cdot (1 + i \cdot t) \] \[ \frac{VF}{VP} = 1 + i \cdot t \]

\[ \frac{VF}{VP} - 1 = i \cdot t \]

\[ i = \frac{\frac{VF}{VP} - 1}{t} \]

Tasa de interés compuesta

\[ VF = VP \cdot (1 + i)^n \]

\[ \frac{VF}{VP} = (1 + i)^n \]

\[ \left( \frac{VF}{VP} \right)^{\frac{1}{n}} = 1 + i \]

\[ i = \left( \frac{VF}{VP} \right)^{\frac{1}{n}} - 1 \]

De Tasa Nominal a Tasa Efectiva

\[ \text{Tasa Efectiva} = \frac{\text{Tasa Nominal}}{m} \] \[ m = \text{frecuencia de capitalización} \] \[ m = \frac{\text{Plazo de la Tasa Nominal}}{\text{Plazo Capitalización}} \] Forma directa

\[ \text{Tasa Efectiva} = \left( \frac{\text{Tasa Nominal}}{\frac{\text{Plazo TN}}{\text{Plazo Cap}}}\right) \]

Ejemplo 1

TNA 6% que capitaliza cada trimestre (3 meses/90 días)

# Tasa Efectiva (TE) = Tasa Nominal/ m
# donde m = frecuencia de capitalización
# m = Plazo TN/Plazo Capitalización

# 📈  De Tasa Nominal a Tasa Efectiva: 1ra forma

Plazo_TN <- 12
Plazo_Cap <- 3
m <- Plazo_TN/Plazo_Cap

TNA <- 0.06
TETrim <- TNA/m

cat("La tasa efectiva trimestral (TETrim) es:", round(TETrim * 100, 4), "%\n")
## La tasa efectiva trimestral (TETrim) es: 1.5 %
# 📈  De Tasa Nominal a Tasa Efectiva: 2ra forma

te_trimestral <- TNA / (12/3)
te_trimestral
## [1] 0.015
cat("La tasa efectiva trimestral (te_trimestral) es:", round(te_trimestral * 100, 4), "%\n")
## La tasa efectiva trimestral (te_trimestral) es: 1.5 %

Ejemplo 2

TN311d 4.77% que capitaliza cada 8 días

# TE8dias =  (1+Tasa Nominal/(Plazo TN/Plazo Cap)) - 1
TE8dias <- 0.0477/(311/8)
cat("La TE8dias es:", round(TE8dias * 100, 4), "%\n")
## La TE8dias es: 0.1227 %

Ejemplo 3

TN104d 0.95% que capitaliza diario(1d)

# TE8dias =  Tasa Nominal/(Plazo TN/Plazo Cap)
TE1dia <- 0.0095/(104/1)
cat("La TE1dia es:", round(TE1dia * 100, 4), "%\n")
## La TE1dia es: 0.0091 %

Casos especiales

  • TNA 6% -> no te brindan el periodo de capitalización -> Se asume capitalización DIARIA(1d)
  • TN 3% que capitaliza cada mes -> no te brindan el plazo de la tasa nominal -> Se asume plazo TN ANUAL
  • TN 7% -> no te brindan plazo de la tasa ni de la capitalización -> Se asume plazo de la TN ANUAL y capitalización DIARIA (1d)
  • TN209d 1.74% que capitaliza cada 209 días -> cuando el plazo de la TN es igual al plazo de la capitalización, automáticamente se obtiene la tasa efectiva del mismo periodo de la capitalización

De Tasa Efectiva a Tasa Efectiva

\[ \text{TEQuiero} = VP \cdot \left(1 + \text{TETengo}\right)^{\frac{\text{quiero}}{\text{tengo}}} - 1 \]

Ejemplo 1

1ra Forma: 2 pasos

# De Nominal a Efectiva
TE8dias <- 0.0477/(311/8)
cat("La tasa efectiva para 8 días es:", round(TE8dias * 100, 4), "%\n")
## La tasa efectiva para 8 días es: 0.1227 %
# De Efectiva a Efectiva
TES <- ((1+TE8dias)^(180/8))-1

cat("La TES es:", round(TES * 100, 4), "%\n")
## La TES es: 2.7975 %

2da Forma: 1 paso

\[ \text{TE}_{\text{quiero}} = \left(1 + \frac{\text{TN}}{\frac{\text{Plazo TN}}{\text{Plazo Cap}}} \right)^{\frac{\text{quiero}}{\text{tengo}}} - 1 \]

TES <- (1+0.0477/(311/8))^(180/8)-1
cat("La TES es:", round(TES * 100, 4), "%\n")
## La TES es: 2.7975 %

Ejemplo 2

TE115d <- (1+0.0085/(30/1))^(115/1)-1
cat("La TES es:", round(TE115d * 100, 4), "%\n")
## La TES es: 3.3115 %

Tasa sintética (soles)

\[ \text{TEA(s) PEN} = \left[ \frac{\text{bid}_{360d}}{\text{offer}_{hoy}} \times \left(1 + \text{TEA}_{USD}\right) \right] - 1 \]

Tasa sintética (dólares)

\[ \text{TEA(s) USD} = \left[ \frac{\text{bid}_{hoy}}{\text{offer}_{369d}} \times \left(1 + \text{TEA}_{PEN}\right) \right] - 1 \]

Efecto inflación

Ecuación de Fisher:

\[ (1 + i) = (1 + r)(1 + \pi) \]

donde:

  • \(i\): tasa con inflación
  • \(r\): tasa real (sin inflación)
  • \(\pi\): inflación

Para agregar el efecto inflación:

Despejamos \(i\):

\[ (1 + i) = (1 + r)(1 + \pi) \]

\[ i = [(1 + r)(1 + \pi)] - 1 \] Ejemplo 1 Hallar la TEA (con inflación)

# TEA real = 2.5%
# Inflación = 8.4%

i <- ((1+0.025)*(1+0.084))-1
cat("La TEA (con inflación) es:", round(i * 100, 4), "%\n")
## La TEA (con inflación) es: 11.11 %

Ejemplo 2 Hallar la TEM (con inflación)

# TEM real = 0.17%
# Inflación = 8.4%

inf_mensual <- (1+0.084)^(1/12)-1
i <- ((1+0.0017)*(1+inf_mensual))-1
cat("La TEA (con inflación) es:", round(i * 100, 2), "%\n")
## La TEA (con inflación) es: 0.85 %

Para quitar el efecto inflación

Ecuación de Fisher:

\[ (1 + i) = (1 + r)(1 + \pi) \]

Despejamos \(r\):

\[ r = \left( \frac{1 + i}{1 + \pi} \right) - 1 \] Ejemplo 1 Hallar la TEA real

# TEA = 8%
# Inflación anual= 8.4%

r <- ((1+0.08)/(1+0.084))-1
cat("La TEA real es:", round(r * 100, 4), "%\n")
## La TEA real es: -0.369 %

Ejemplo 2

Hallar la TET real

# TET = 3.5%
# Inflación anual = 8.4%

inf_trimestral <- ((1+0.084)^(1/4))-1
r <- ((1+0.035)/(1+inf_trimestral))-1
cat("La TET real es:", round(r * 100, 4), "%\n")
## La TET real es: 1.4339 %

Efecto inflación en flujos

Para agregar el efecto inflación

\(\text{Valor nominal} = \text{Valor real} \times (1 + \pi)\)

Para quitar el efecto inflación

\(\text{Valor real} = \frac{\text{Valor nominal}}{1 + \pi}\)

Promedio de Tasas

Ejemplo 1 Cálculo de una TEM_p

\[ \text{TEM}_p = \left[ (1 + \text{TEM}_1)^{10} \times (1 + \text{TEM}_2)^{18} \times (1 + \text{TEM}_3)^6 \right]^{\frac{1}{34}} - 1 \] Ejemplo 2 Cálculo de una TEA_P

\[ \text{TEM}_p = \left[ (1 + \text{TEM}_1)^{10} \times (1 + \text{TEM}_2)^{18} \times (1 + \text{TEM}_3)^6 \right]^{\frac{12}{34}} - 1 \]

Anualidades

Valor presente (vencida)

  • Flujo de pagos al vencimiento de cada período

\[ VP = \frac{A}{i} \times \left( \frac{(1 + i)^n - 1}{(1 + i)^n} \right) \]

Ejercicio 1 Se vende un aparato eléctrico a crédito y bajo las siguientes condiciones: seis mensualidades iguales de $ 2215.170005 cada una, que se empezarán a pagar un mes después de la compra. El interés que se cobra es de 3% mensual. Cual es el precio al contado?

A <- 2215.17
i <- 0.03
n <- 6

VP <- (A / i) * (((1 + i)^n - 1) / ((1 + i)^(n)))
VP
## [1] 12000

Valor presente (anticipada)

  • Flujo de pagos al principio de cada período

\(VP = \frac{A}{i} \times \left( \frac{(1 + i)^n - 1}{(1 + i)^{n-1}} \right)\)

Valor futuro (vencida)

Valor futuro (anticipada)

Tasa de Costo Efectivo Anual (TCEA)