title: “Act4_Cantillo_María” author: “María Cantillo” date: “2025-08-18” output: html_document editor_options: markdown: wrap: 72 # Ejercicio 8 - Distribución Binomial

Distribución Muestral del Mínimo

Enunciado

Consideremos una muestra aleatoria \(X_1, \ldots, X_n\) de variables aleatorias continuas, independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución acumulada \(F\) y densidad \(f\).

Definamos el mínimo muestral de estas \(n\) variables aleatorias por: \[m_n := \min\{X_1, \ldots, X_n\}\]

a) Fórmula para P(mn > t)

Desarrollo teórico (basado en tu solución)

Para que el mínimo sea mayor que \(t\), todas las variables \(X_i\) deben ser mayores que \(t\):

\[P(m_n > t) = P(\min\{X_1, \ldots, X_n\} > t)\]

\[= P(X_1 > t, X_2 > t, \ldots, X_n > t)\]

Por independencia: \[= P(X_1 > t) \cdot P(X_2 > t) \cdots P(X_n > t)\]

Como son idénticamente distribuidas: \[= [P(X_1 > t)]^n = [1 - F(t)]^n\]

Respuesta (a)

\[\boxed{P(m_n > t) = [1 - F(t)]^n}\]

b) Función de distribución acumulada Hn

Desarrollo teórico

La función de distribución acumulada del mínimo es:

\[H_n(t) = P(m_n \leq t)\]

Usando el complemento del resultado anterior: \[H_n(t) = 1 - P(m_n > t) = 1 - [1 - F(t)]^n\]

Respuesta (b)

\[\boxed{H_n(t) = 1 - [1 - F(t)]^n}\]

c) Función de densidad hn

Desarrollo teórico (siguiendo tu derivación)

Para obtener la densidad, derivamos la CDF:

\[h_n(t) = \frac{d}{dt} H_n(t) = \frac{d}{dt}[1 - (1 - F(t))^n]\]

Aplicando la regla de la cadena: \[= -\frac{d}{dt}[(1 - F(t))^n]\]

\[= -n(1 - F(t))^{n-1} \cdot \frac{d}{dt}(1 - F(t))\]

\[= -n(1 - F(t))^{n-1} \cdot (-f(t))\]

\[= n(1 - F(t))^{n-1} \cdot f(t)\]

Respuesta (c)

\[\boxed{h_n(t) = n \cdot f(t) \cdot [1 - F(t)]^{n-1}}\]

Resumen de fórmulas principales

Resultados finales:

1. Función de supervivencia del mínimo: \[P(m_n > t) = [1 - F(t)]^n\]

2. Función de distribución del mínimo: \[H_n(t) = 1 - [1 - F(t)]^n\]

3. Función de densidad del mínimo: \[h_n(t) = n \cdot f(t) \cdot [1 - F(t)]^{n-1}\]