Ejemplo encuesta: enunciado

Los resultados obtenidos al realizar una encuesta sobre la variable Sexo (a 100 estudiantes universitarios), muestran que hay 49 mujeres y 51 hombres. Supongamos que se seleccionan cuatro estudiantes al azar.

Sexo Frecuencia
Femenino-F 49
Masculino-M 51

b) Proporciones y porcentajes

##        Sexo Porcentaje
## 1  Femenino       0.49
## 2 Masculino       0.51

Ejercicios con Permutación

Espacio muestral

## [1] 94109400

\[ \Omega = P(100,4) = \frac{100!}{(100-4)!} = 100\cdot99\cdot98\cdot97 = 94109400 \]

e) Si seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que las dos primeras personasseleccionadas sean mujeres y las dos últimas, hombres.

Permutaciones de las mujeres:

## [1] 2352

Permutaciones de los hombres:

## [1] 2550

Probabilidad:

## [1] 0.06373008

\[P(e)= \frac{(2352)(2550)}{94109400}=0.0637\]

p) Probabilidad de que tres primeras sean mujeres y el último un hombre

Permutaciones de las mujeres:

Mujer
## [1] 110544

Permutaciones de los hombres:

Hombre
## [1] 51

Probabilidad:

## [1] 0.05990628

\[P(p)= \frac{(110544)(51)}{94109400}=0.0599\]

r) Probabilidad de que los cuatro sean mujeres (uno a uno)

Permutaciones de las mujeres:

## [1] 5085024

Probabilidad:

## [1] 0.05403311

\[P(r)= \frac{5085024}{94109400}=0.0540\]

s) Probabilidad de que los dos primeros sean mujeres

Permutaciones de las mujeres:

## [1] 2352

Permutaciones de los dos ultimos estudiantes seleccionados:

## [1] 9506

Probabilidad:

## [1] 0.2375758

\[P(s)= \frac{(2352)(9506)}{94109400}=0.2375695\]

Ejercicios con Combinatoria

Espacio muestral

## [1] 3921225

\[\Omega \;=\; \binom{100}{4}=\frac{100!}{4!(100-4)!}=3921225\]

f) Probabilidad de seleccionar 4 mujeres

Combinaciones de las mujeres

## [1] 211876

Probabilidad

## [1] 0.05403311

\[P(f)= \frac{\binom{49}{4}}{3921225}=0.054\]

k) Probabilidad de seleccionar 1 hombre

Combinaciones de las mujeres:

## [1] 18424

Combinaciones de los Hombres:

## [1] 51

Probabilidad:

## [1] 0.2396251

\[P(A)= \frac{(51)(18424)}{3921225}=0.2396\]

l) Probabilidad de seleccionar 2 hombres

Combinaciones de las mujeres:

## [1] 1176

Combinaciones de los hombres:

## [1] 1275

Probabilidad:

## [1] 0.3823805

\[P(l)= \frac{\binom{49}{2}\binom{51}{2}}{3921225}=0.3824\]

m) Probabilidad de seleccionar máximo 2 hombres

Para esto sumamos la probabilidad de seleccionar 0 (probabilidad de seleccionar 4 mujeres) ,1 y 2 hombres.

## [1] 0.6760387

\[P(m) = 0.0540 + 0.2396 + 0.3824 = 0.6760\]

n) Probabilidad de seleccionar al menos 3 hombres

Probablidad seleccionar 4 hombres - P(ch):

## [1] 0.06373008

Probablidad seleccionar 3 hombres - P(th):

## [1] 0.2602312

Probabilidad:

## [1] 0.3239613

\[P({n})= P(th)+P(ch) = 0.26023 - 0.06373 = 0.3239\]