Ejercicio 8

Tenemos una muestra aleatoria \(X_1, \dots, X_n\) de variables aleatorias continuas, independientes e idénticamente distribuidas, con función de distribución acumulada \(F\) y densidad \(f\).
El mínimo muestral lo definimos como:

\[m_n = \min\{X_1, \dots, X_n\}.\]

Lo que nos piden es:

  1. Encontrar una fórmula para \(P(m_n > t)\) en términos de \(F(t)\).
  2. Hallar la función de distribución acumulada \(H_n\) del mínimo.
  3. Escribir la función de densidad \(h_n\) del mínimo.

Desarrollo

Primero, para calcular \(P(m_n > t)\), la idea es pensar que el mínimo sea mayor que \(t\) significa que todas las variables \(X_i\) sean mayores que \(t\).

\[ P(m_n > t) = P(X_1 > t, X_2 > t, \dots, X_n > t). \]

Como son independientes, esto se convierte en:

\[ P(m_n > t) = \prod_{i=1}^n P(X_i > t) = (1 - F(t))^n. \]

Ahora, la función de distribución acumulada del mínimo es simplemente:

\[ H_n(t) = P(m_n \leq t) = 1 - P(m_n > t) = 1 - (1 - F(t))^n. \]

La densidad del mínimo se obtiene derivando \(H_n(t)\) respecto a \(t\):

\[ h_n(t) = H_n'(t) = n (1 - F(t))^{n-1} f(t). \]

Resumen