Ejercicios de probabilidad

Encuesta sobre el sexo de los estudiantes

Se tiene la variable Sexo en una muestra de 100 estudiantes universitarios: 49 mujeres y 51 hombres. Se seleccionan cuatro estudiantes al azar y se responden los siguientes apartados.

(a) Diga qué tipo de variable es “Sexo”. Explique.

La variable Sexo es cualitativa categórica nominal, porque clasifica a los estudiantes en dos grupos (Femenino y Masculino) y no existe un orden entre ellos.

(b) Determine la proporción y el porcentaje de mujeres y de hombres en la muestra.

Proporción de mujeres = 49/100 = 0.49 (49%)
Proporción de hombres = 51/100 = 0.51 (51%)

A continuación, se muestra la representación gráfica de la distribución por sexo en la muestra:

# Datos
sexo <- c("Mujeres", "Hombres")
valores <- c(49, 51)

# Gráfico de torta
pie(valores, labels = sexo, col = c("pink", "lightblue"),
    main = "Proporción de mujeres y hombres en la muestra")

(c) Construya el diagrama de barras correspondiente.

library(ggplot2)
datos <- data.frame(
  Sexo = c("Mujer", "Hombre"),
  Frecuencia = c(49, 51)
)

ggplot(datos, aes(x = Sexo, y = Frecuencia, fill = Sexo)) +
  geom_bar(stat = "identity") +
  labs(title = "Distribución de estudiantes por sexo",
       y = "Frecuencia", x = "Sexo") +
  scale_fill_manual(values = c("#FF69B4", "#87CEEB"))

(d) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar dos mujeres y dos hombres?

Utilizamos combinaciones (no importa el orden).

w <- choose(100,4)                 #A Tamaño del espacio muestral
Mujer <- choose(49,2)              #B Combinaciones de las mujeres
Hombre <- choose(51,2)             #C Combinaciones de los hombres
Prob_d <- (Mujer * Hombre)/w       #D Probabilidad pedida
Prob_d
## [1] 0.3823805

(e) Si seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que las dos primeras personas seleccionadas sean mujeres y las dos últimas, hombres?

Como interesa el orden, se usan permutaciones sin repetición.

w <- factorial(100)/factorial(100-4)   #E Tamaño del espacio muestral
Mujer <- factorial(49)/factorial(49-2) #F Permutaciones de las mujeres
Hombre <- factorial(51)/factorial(51-2)#G Permutaciones de los hombres
Prob_e <- (Mujer * Hombre)/w           #H Probabilidad pedida
Prob_e
## [1] 0.06373008

(f) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres?

w <- choose(100,4)                 #I Tamaño del espacio muestral
Mujer <- choose(49,4)              #J Combinaciones de mujeres
Prob_f <- Mujer/w                  #K Probabilidad pedida
Prob_f
## [1] 0.05403311

(g) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar tres hombres?

w <- choose(100,4)                 #L Tamaño del espacio muestral
Hombre <- choose(51,3)             #M Combinaciones de 3 hombres
Mujer <- choose(49,1)              #N Combinaciones de 1 mujer
Prob_g <- (Hombre*Mujer)/w         #O Probabilidad pedida
Prob_g
## [1] 0.2602312

(h) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres y tres hombres?

No es posible, porque solo se eligen cuatro estudiantes en total. Por lo tanto, la probabilidad es 0.

(i) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres o tres hombres?

w <- choose(100,4)                 #P Tamaño del espacio muestral
Mujer <- choose(49,4)              #Q Combinaciones de 4 mujeres
Hombre <- choose(51,3)*choose(49,1)#R Combinaciones de 3 hombres y 1 mujer
Prob_i <- (Mujer + Hombre)/w       #S Probabilidad pedida
Prob_i
## [1] 0.3142643

(j) ¿Cuál es la probabilidad de que no seleccionemos hombres?

Eso significa seleccionar solo mujeres.

w <- choose(100,4)                 #T Tamaño del espacio muestral
Mujer <- choose(49,4)              #U Combinaciones de mujeres
Prob_j <- Mujer/w                  #V Probabilidad pedida
Prob_j
## [1] 0.05403311