Distribución muestral del mínimo Consideremos una muestra aleatoria \({X1,...,Xn}\) de variables aleatorias continuas, independientes e identicamente distribuidas con función de distribución acumulada \(F\) y densidad \(f\). Definamos el mínimo muestral de estas variables aleatorias por

\(m_n := \min\{X_1, \ldots, X_n\}\)

  1. Halle una fórmula para \(P(m_n>t)\) en términos de \(F(t)\), siendo \(t>0\).

  2. Encuentre la función de distribución acumulada \(H_n\) de \(m_n\) y escriba su fórmula en términos de \(F\).

  3. Construya la función de densidad \(h_n\) de \(m_n\) y escriba su fórmula en términos de \(f\).

Solución:

  1. \(P(m_n > t)\) en terminos de \(F(t)\) como los \(X\) son independientes, \(P(m_n > t) = P(X_1>t,...,X_n>t\) = \(\prod_{i=1}^n x_i\) \(P(X_i>t)\) = \([1 - F(t)^n]\) Esto vale para cualquier \(t\)

  2. CDF de \(m_n\), \(H_n(t)\) = \(P(m_n >= t)\) Usando el complemento de (a) \(H_n(t) = 1 - P (m_n > t) = 1 - [1 - F(t)]^n\)

  3. Función de densidad de mm como hn es derivada (caso continuo), la densidad es la derivada: \(h_n(t)\) = \(\frac{d}{dt}\) \({1 - [1 - F(t)]^2}\) = \(n[1 - F(t)]^n-1 f(t)\)