Universidad del Norte
Tiffany Mendoza Sampayo
Estadistica matemática 2025-03 | Agosto 17, 2025
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE, message = FALSE, warning = FALSE)Sea \(X_1,\dots,X_n\) una muestra aleatoria de v.a. continuas, i.i.d., con función de distribución acumulada \(F\) y densidad \(f\). Definimos el mínimo muestral: \[m_n := \min\{X_1,\dots,X_n\}\]
Se pide: 1. Hallar una fórmula para \(\mathbb{P}(m_n > t)\) en términos de \(F(t)\) (con \(t>0\)). 2. Encontrar la función de distribución acumulada \(H_n\) de \(m_n\) y expresarla con \(F\). 3. Obtener la densidad \(h_n\) de \(m_n\) en función de \(f\).
1) Probabilidad de que el mínimo supere \(t\)
Recordemos que el mínimo es: \[ m_n = \min\{X_1, X_2, \dots, X_n\}. \]
Decir que el mínimo es mayor que un valor \(t\) significa que ninguna de las variables puede estar por debajo o igual a \(t\). En otras palabras, todas deben ser mayores que \(t\):
\[ \{m_n > t\} \;\Longleftrightarrow\; \{X_1 > t,\, X_2 > t,\, \dots,\, X_n > t\}. \]
Como las \(X_i\) son independientes e idénticamente distribuidas, la probabilidad conjunta se calcula multiplicando:
\[ \mathbb{P}(m_n > t) = \mathbb{P}(X_1>t,\, X_2>t,\, \dots,\, X_n>t) = \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(X_i > t). \]
Ahora bien, la probabilidad de que una variable supere \(t\) es simplemente el complemento de su CDF:
\[ \mathbb{P}(X_i > t) = 1 - F(t). \]
Por lo tanto:
\[ \mathbb{P}(m_n > t) = (1-F(t))^n. \]
2) Función de distribución acumulada de \(m_n\)
Por definición:
\[ H_n(t) = \mathbb{P}(m_n \leq t). \]
Esto es lo contrario de lo anterior:
\[ H_n(t) = 1 - \mathbb{P}(m_n > t). \]
Reemplazamos el resultado:
\[ H_n(t) = 1 - (1-F(t))^n. \]
3) Función de densidad de \(m_n\)
La densidad se obtiene derivando la CDF. Si \(f(t)\) es la derivada de \(F(t)\):
\[ h_n(t) = \frac{d}{dt}H_n(t). \]
Entonces:
\[ h_n(t) = n ,(1-F(t))^{,n-1}, f(t). \]