Consideremos una muestra aleatoria \(X_1,\ldots,X_n\) de variables aleatorias continuas, independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución acumulada \(F\) y densidad \(f\). Definamos el mínimo muestral de estas \(n\) variables aleatorias por:
\[m_n := \min\{X_1,\ldots,X_n\}\]
Para que el mínimo sea mayor que \(t\), todas las variables \(X_i\) deben ser mayores que \(t\).
Desarrollo: \[P(m_n > t) = P(\min\{X_1,\ldots,X_n\} > t)\] \[= P(X_1 > t, X_2 > t, \ldots, X_n > t)\]
Como las variables son independientes: \[P(m_n > t) = P(X_1 > t) \times P(X_2 > t) \times \cdots \times P(X_n > t)\]
Como son idénticamente distribuidas, \(P(X_i > t) = 1 - F(t)\) para todo \(i\):
\[\boxed{P(m_n > t) = [1 - F(t)]^n}\]
La función de distribución acumulada se define como \(H_n(t) = P(m_n \leq t)\).
Desarrollo: \[H_n(t) = P(m_n \leq t) = 1 - P(m_n > t)\]
Sustituyendo el resultado del punto 1: \[H_n(t) = 1 - [1 - F(t)]^n\]
\[\boxed{H_n(t) = 1 - [1 - F(t)]^n}\]
La función de densidad se obtiene derivando la función de distribución acumulada.
Desarrollo: \[h_n(t) = \frac{d}{dt} H_n(t) = \frac{d}{dt} [1 - [1 - F(t)]^n]\]
Aplicando la regla de la cadena: \[h_n(t) = -\frac{d}{dt} [1 - F(t)]^n\] \[= -n[1 - F(t)]^{n-1} \times \frac{d}{dt} [1 - F(t)]\] \[= -n[1 - F(t)]^{n-1} \times (-f(t))\]
\[\boxed{h_n(t) = n[1 - F(t)]^{n-1} f(t)}\]