12.0.6 Ejercicio 8
Distribución muestral del mínimo.
Consideremos una muestra aleatoria \(X_1,\dots,X_n\) de variables aleatorias
continuas, independientes e idénticamente distribuidas con función de
distribución acumulada \(F\) y densidad
\(f\).
Definamos el mínimo muestral de estas \(n\) variables aleatorias por
\[ m_n = \min\{X_1, \dots, X_n\}. \]
Se pide:
Halle una fórmula para \(\mathbb P(m_n > t)\) en términos de \(F(t)\), siendo \(t>0\).
Encuentre la función de distribución acumulada \(H_n\) de \(m_n\), y escriba su fórmula en términos de \(F\).
Construya la función de densidad \(h_n\) de \(m_n\), y escriba su fórmula en términos de \(f\).
Función de distribución acumulada (FDA):
\[
F(t) = \mathbb P(X \leq t).
\] Es la probabilidad acumulada de que la variable aleatoria tome
un valor menor o igual que \(t\).
Mínimo muestral: El evento \(m_n > t\) ocurre únicamente si todas las \(X_i > t\). Dado que las variables son independientes, la probabilidad conjunta se calcula multiplicando las probabilidades individuales.
Función de densidad de probabilidad (FDP): Si la
FDA \(F\) es derivable, entonces su
derivada nos da la densidad:
\[
f(t) = \frac{d}{dt}F(t).
\] De igual manera, la densidad del mínimo \(h\) se obtiene derivando la FDA del mínimo
\(H(t)\).
El evento \(m_i>t\) significa que
todos los \(X_i\) en la muestra son
mayores que t.
Es decir:
\[
m_n > t \iff (X_1 > t∧ \; X_2 > t ∧ \; \dots∧ \; X_n > t).
\] Nos queda entonces: \[
\mathbb P(m_n > t) = \mathbb P(X_1 > t ∧ \dots ∧ X_n > t).
\] Como las \(X_i\) son
independientes, la probabilidad conjunta es el producto de las
probabilidades individuales.
\[ \mathbb P(m_n > t) = \mathbb P(X_1 > t)\cdot \mathbb P(X_2 > t) \cdots \mathbb P(X_n > t). \]
Cada término es igual a \(\mathbb P(X_i > t) = 1 - F(t)\), dado que son idénticamente distribuidas con \(F\). Por lo tanto:
\[ \mathbb P(m_n > t) = \mathbb (1-F(t))\cdot \mathbb (1-F(t)) \cdots \mathbb (1-F(t))=\big[1 - F(t)\big]^n \] \[ \boxed{\mathbb P(m_n > t) = \big[1 - F(t)\big]^n} \]
La FDA \(H_n\) del mínimo \(m_i\) es \(H_n(t)=P(m_i\leq t)\).
Usamos el complemento del resultado de la parte (a):
\[ H_n(t) = \mathbb P(m_i \leq t) = 1 - \mathbb P(m_n > t). \]
Sustituyendo el resultado anterior:
\[ \boxed{H_n(t) = 1 - \big[1 - F(t)\big]^n} \]
La densidad se obtiene derivando la FDA con respecto a \(t\). Aplicamos la regla de la cadena para derivar \(H_n(t)\).
\[ h_n(t) = \frac{d}{dt} H_n(t) \]
Como \(H_n(t) = 1 - [1-F(t)]^n\):
\[
h_n(t) = \frac{d}{dt} (1-[1-F(t)]^n)
\] \[
h_n(t) = -n \big[1 - F(t)\big]^{\,n-1} ⋅(-f(t))
\] Al simplificar nos queda:
\[
\boxed{h_n(t) = n \big[1 - F(t)\big]^{\,n-1} f(t)}
\]