a) Halle una fórmula para \(P(m_n > t)\) en términos de \(F(t)\), siendo \(t > 0\).

Sea \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) una muestra de variables aleatorias continuas, independientes e idénticamente distribuidas. Definimos el mínimo muestral como

\[ m_n = \min \{X_1, X_2, \ldots, X_n\}. \]

Para todo \(t>0\), queremos calcular la probabilidad \(P(m_n > t)\). Observemos que

\[ m_n > t \;\Longleftrightarrow\; X_1 > t,\; X_2 > t,\; \ldots,\; X_n > t. \]

Por lo tanto,

\[ P(m_n > t) = P(X_1 > t, X_2 > t, \ldots, X_n > t). \]

Dado que las variables son independientes,

\[ P(m_n > t) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i > t). \]

Como todas las variables son idénticamente distribuidas, para todo \(i\),

\[ P(X_i > t) = 1 - P(X_i \leq t) = 1 - F(t), \]

donde \(F(t)\) denota la función de distribución acumulada de cada \(X_i\). En consecuencia,

\[ \boxed{\,P(m_n > t) = (1 - F(t))^{n}\,}. \]

b) Encuentre la función de distribución acumulada \(H_n\) de \(m_n\) y escriba su fórmula en términos de \(F\).

Por definición, la función de distribución acumulada de \(m_n\) es

\[ H_n(t) = P(m_n \leq t) = 1 - P(m_n > t). \]

Usando el resultado del inciso anterior,

\[ P(m_n > t) = (1 - F(t))^{n}. \]

Por lo tanto,

\[ \boxed{\,H_n(t) = 1 - (1 - F(t))^{n}\,}. \]

c) Construya la función de densidad \(h_n\) de \(m_n\), y escriba su fórmula en términos de \(f\).

La función de densidad del mínimo muestral es la derivada de su función de distribución acumulada,

\[ h_n(t) = \frac{d}{dt} H_n(t). \]

Derivando el resultado obtenido en el inciso anterior,

\[ h_n(t) = \frac{d}{dt}\!\left( 1 - (1 - F(t))^{n} \right) = n\, f(t)\, (1 - F(t))^{\,n-1}, \]

donde \(f(t) = F'(t)\) es la función de densidad de probabilidad de cada \(X_i\). En resumen,

\[ \boxed{\,h_n(t) = n\, f(t)\, (1 - F(t))^{\,n-1}\,}. \]