Ejercicio 8

Sea \(X_1, \dots, X_n\) una muestra aleatoria de variables aleatorias continuas, i.i.d., con función de distribución acumulada \(F\) y densidad \(f\). Definimos el mínimo muestral

\[m_n = \min \{X_1, \dots, X_n\}.\]

Se pide:

  1. Hallar una fórmula para \(\mathbb{P}(m_n > t)\) en términos de \(F(t)\).

  2. Encontrar la función de distribución acumulada \(H_n\) de \(m_n\) en términos de \(F\).

  3. Construir la función de densidad \(h_n\) de \(m_n\) en términos de \(f\).

Solución

a) Probabilidad \(\mathbb{P}(m_n > t)\)

Sabemos que

\[ m_n > t \; \Leftrightarrow \; X_1 > t, \; X_2 > t, \; \dots, X_n > t. \]

Por independencia:

\[ \mathbb{P}(m_n > t) = \mathbb{P}(X_1 > t, X_2 > t, \dots, X_n > t) = \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(X_i > t). \]

Cada variable tiene la misma distribución, entonces:

\[ \mathbb{P}(m_n > t) = (1-F(t))^n. \]

Respuesta (a):

\[\mathbb{P}(m_n > t) = (1-F(t))^n.\]

b) Función de distribución acumulada \(H_n\)

Por definición:

\[ H_n(t) = \mathbb{P}(m_n \le t) = 1 - \mathbb{P}(m_n > t). \]

Sustituyendo lo hallado en (a):

\[ H_n(t) = 1 - (1-F(t))^n. \]

Respuesta (b):

\[H_n(t) = 1 - (1-F(t))^n.\]

c) Densidad \(h_n\)

La densidad se obtiene derivando \(H_n(t)\) respecto de \(t\):

\[ h_n(t) = \frac{d}{dt} H_n(t) = \frac{d}{dt}\Big[1-(1-F(t))^n\Big]. \]

Aplicando la regla de la cadena:

\[ h_n(t) = n(1-F(t))^{n-1} f(t). \]

Respuesta (c):

\[h_n(t) = n (1-F(t))^{n-1} f(t).\]