Distribución muestral del mínimo. Consideremos una muestra aleatoria \(X_1,...,X_n\)de variables aleatorias continuas, independientes e identicamente distribuidas con función de distribución acumulada \(F\) y densidad \(f\). Definamos el mínimo muestral de estas \(n\) variables aleatorias por \(m_n :=\text{min}\{X_1,...,X_n\}\).
Halle una fórmula para \(P(m_n > t)\) en términos de \(F(t)\), siendo \(t > 0\).
Encuentre la función de distribución acumulada \(H_n\) de \(m_n\) y escriba su fórmula en términos de \(F\).
Construya la función de densidad \(h_n\) de \(m_n\) y escriba su fórmula en términos de \(f\).
A continuación, se presentará la solución de los tres incisos propuestos en el problema
Para esta parte, nos piden encontrar la probabilidad de que el mínimo muestral sea mayor que un valor \(t\) siendo \(t > 0\). Esto se puede expresar de manera matemática de la siguiente forma:
\[ P(m_{n} > t) = P(X_1 > t \wedge X_2 > t \ \wedge ... \wedge \ X_n > t) \]
Lo anterior se debe a la definición de \(m_n\). Sabemos que \(X_{i} \geq m_n\) para \(i = 1,...,n\). Por lo tanto, el evento \(m_n > t\) es equivalente al evento \(X_1 > t \wedge X_2 > t \ \wedge ... \wedge \ X_n > t\). Debido a que si el mínimo muestral es mayor que cierto valor \(t\), entonces todas las variables de la muestra deben ser mayores que \(t\). Matemáticamente, se expresa como:
\[
m_{n} > t \Longleftrightarrow \forall X_i > t \quad \text{para}
\quad i=1,...,n
\]
Luego, continuando con la expresión:
\[ P(m_{n} > t) = P(X_1 > t \wedge X_2 > t \ \wedge ... \wedge \ X_n > t) \]
Como cada \(X_i\) es independiente, la probabilidad conjunta se puede expresar como el producto de las probabilidades independiente de cada una, es decir:
\[ P(m_{n} > t) = P(X_1 > t) \cdot P(X_2 > t) \cdot \ . . . \ \cdot P(\ X_n > t) \]
Como son identicamente distribuidas entonces:
\[ P(X_1 > t) = P(X_2 > t) = \ . . . \ = P(\ X_n > t) \]
Entonces, por lo anterior nos queda que:
\[ P(m_{n} > t) = [P(X_1 > t)]^n \]
Sacando el complemento:
\[ P(m_{n} > t) = [1 - P(X_1 \leq t)]^n \]
Como \(P(X_1 \leq t) = F(t)\) entonces:
\[ P(m_{n} > t) = [1 - F(t)]^n \]
Para esta parte, nos piden encontrar la función de distribución acumulada \(H_n\) de \(m_n\) y escribirla en términos de \(F\). La función de distribución acumulada de \(m_n\) esta dada por:
\[ H_n(x) = P(m_n \leq x) \]
Sacando el complemento:
\[ H_n(x) = 1 - P(m_n > x) \]
Utilizando el resultado del punto a nos queda:
\[ H_n(x) = 1 - [1 - F(x)]^n \]
Por último, vamos a encontrar la función de densidad \(h_n\) de \(m_n\) y escribirlo en términos de \(f\). Como sabemos la función de densidad esta dada por la derivada de la función de distribución acumulada, función que ya tenemos gracias al inciso b. Entonces tenemos:
\[ h_n(x) = H_n(x)' = (1 - [1 - F(x)]^n)' \]
Luego, resolviendo la derivada:
\[ h_n(x) = n[1 - F(x)]^{n-1}f(x) \]