Distribución muestral del mínimo. Consideremos una muestra aleatoria \(X_1, \ldots, X_n\) de variables continuas, independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución acumulada \(F\) y densidad \(f\). Definimos el mínimo muestral de estas variables aleatorias por: \[ m_n = \min\{X_1, \ldots, X_n\}. \]
a) Halle una fórmula para \(P(m_n > t)\) en términos de \(F(t)\), siendo \(t > 0\).
b) Encuentre la función de distribución acumulada \(H_n\) de \(m_n\) y escriba su fórmula en términos de \(F\).
c) Construya la función de densidad de \(h_n\) de \(m_n\) y escriba su fórmula en términos de \(f\).
a) Se sabe que \(m_n \leq X_i \; \forall i \in \{1,2,\ldots,n\}\). Entonces, si \(t < m_n\) se sigue que \(t < X_i, \, \forall i \in \{1,\ldots,n\}\).
\[ P(m_n > t) = P(X_1 > t, X_2 > t, \ldots, X_n > t) \]
Como \(X_1, \ldots, X_n\) son independientes:
\[ P(m_n > t) = P(X_1 > t)\, P(X_2 > t) \cdots P(X_n > t) \]
Todos tienen la misma distribución \(F\), por lo tanto:
\[ P(m_n > t) = (1-F(t))\, (1-F(t)) \cdots (1-F(t)) \]
\[ P(m_n > t) = [1 - F(t)]^n \]
b) La función de distribución acumulada de \(m_n\) es:
\[ H_n(t) = P(m_n \leq t) = 1 - P(m_n > t) = 1 - [1 - F(t)]^n \]
c) La función de densidad se obtiene derivando \(H_n(t)\):
\[ h_n(t) = H_n'(t) = 0 - n \, [1-F(t)]^{n-1} \, (0-f(t)) = n \, f(t) \, [1-F(t)]^{n-1} \]
También se puede expresar cómo:
\[ h_n(t) = n \, f(t)\, \left[1 - \int\limits_{-\infty}^{t}f(x)dx\right]^{\,n-1}. \]