Consideremos una muestra aleatoria \(X_1, X_2, \dots, X_n\) de variables aleatorias continuas, independientes e identicamente distribuidas con función de distribución acumulada \(F\) y densidad \(f\). Definamos el mínimo muestral de estas \(n\) variables aleatorias por:
\[ m_n = \min\{X_1, X_2, \dots, X_n\}. \]
Hallemos la fórmula para \(P(m_n > t)\) en términos de \(F(t)\), siendo \(t > 0\).
Desarrollo
Se observa que para \(m_n > t\) se cumple que cada \(X_i > t\), por tanto:
\[ X_1 > t, X_2 > t, \dots,X_n > t \]
Entonces queda lo siguiente:
\[ P(m_n > t) = P(X_1 > t, \dots, X_n > t). \]
Por independencia:
\[ P(m_n > t) = \prod_{i=1}^n P(X_i > t). \]
Como \(P(X_i > t) = 1 - F(t)\), se obtiene la siguiente respuesta:
\[ P(m_n > t) = (1 - F(t))^n. \]
Encuentre la función de distribución acumulada \(H_n\) de \(m_n\) y escriba su fórmula en términos de \(F\).
Desarrollo
La función de distribución acumulada de \(m_n\) es:
\[ H_n(x) = P(m_n \leq x). \]
Usando el complemento:
\[ H_n(x) = 1 - P(m_n > x). \]
Usando el resultado del punto A se llega a la siguiente respuesta:
\[ H_n(x) = 1 - (1 - F(x))^n. \]
Construya la función de densidad \(h_n\) de \(m_n\) y escriba su fórmula en términos de \(f\).
Desarrollo
La densidad de \(m_n\) se obtiene derivando la función \(H_n(x)\) encontrada en el inciso B:
\[ h_n(x) = \frac{d}{dx} H_n(x). \]
Entonces:
\[ h_n(x) = \frac{d}{dx}\Big(1 - (1 - F(x))^n\Big). \]
Derivamos y el resultado es el siguiente:
\[ h_n(x) = n(1 - F(x))^{n-1} f(x)}. \]