Actividad4_Ejercicio8

Planteamiento teórico

Sea una muestra aleatoria \(X_1, X_2, \dots, X_n\) de variables aleatorias continuas i.i.d. con función de distribución acumulada \(F\) y densidad \(f\).

Definimos el mínimo muestral:

\[ m_n = \min\{X_1, \dots, X_n\}. \]

1. Probabilidad \(P(m_n > t)\)

Notemos que

\[ P(m_n > t) = P(X_1 > t, X_2 > t, \dots, X_n > t). \]

Como son independientes:

\[ P(m_n > t) = P(X_1 > t)^n = (1 - F(t))^n. \]

2. Función de distribución acumulada \(H_n\) de \(m_n\)

La c.d.f. de \(m_n\) es

\[ H_n(t) = P(m_n \leq t) = 1 - P(m_n > t). \]

Entonces:

\[ H_n(t) = 1 - (1 - F(t))^n. \]

3. Función de densidad \(h_n\) de \(m_n\)

Derivamos \(H_n(t)\) con respecto a \(t\):

\[ h_n(t) = H_n'(t) = n f(t) (1 - F(t))^{n-1}. \]

Verificación con un ejemplo en R

Supongamos que \(X_i \sim Exp(1)\), con \(F(t) = 1 - e^{-t}\), \(f(t) = e^{-t}\) para \(t>0\).

n <- 5
f <- function(x) exp(-x)
F <- function(x) 1 - exp(-x)

# densidad teórica del mínimo (corregida para usar 'x')
hn <- function(x) n * f(x) * (1 - F(x))^(n-1)

# Gráfico de la densidad teórica
title_text <- paste("Densidad del mínimo muestral (n =", n, ")")
curve(hn, from = 0, to = 5, col = "blue", lwd = 2, 
      ylab = "h_n(t)", xlab = "t", main = title_text)

# Simulación
set.seed(123)
B <- 100000
muestras <- replicate(B, min(rexp(n, rate = 1)))
hist(muestras, probability = TRUE, breaks = 50, col = "lightgray", add = TRUE)