Enunciado

Sea \(\{X_1,\dots,X_n\}\) una muestra aleatoria de variables continuas, independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) con función de distribución acumulada \(F\) y densidad \(f\). Defina el mínimo muestral \[ m_n := \min\{X_1,\dots,X_n\}. \]

  1. Hallar una fórmula para \(\mathbb{P}(m_n>t)\) en términos de \(F(t)\), con \(t>0\).
  2. Encontrar la función de distribución acumulada \(H_n\) de \(m_n\).
  3. Construir la función de densidad \(h_n\) de \(m_n\) en términos de \(f\).

a) Cálculo de \(\mathbb{P}(m_n>t)\)

Idea clave (definición del mínimo): \[ m_n>t \iff X_1>t,\;X_2>t,\;\dots,\;X_n>t. \]

Independencia (producto de probabilidades): \[ \mathbb{P}(m_n>t) = \mathbb{P}(X_1>t,\dots,X_n>t) = \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(X_i>t). \]

Identicidad de distribución y supervivencia: Para una v.a. genérica \(X\) con CDF \(F\), \[ \mathbb{P}(X>t)=1-F(t). \] Como las \(X_i\) son i.i.d., todas esas probabilidades son iguales, por lo que \[ \boxed{\;\mathbb{P}(m_n>t) = \big(1-F(t)\big)^n\;}. \]

b) Función de distribución acumulada \(H_n\) de \(m_n\)

Por definición, \[ H_n(t) := \mathbb{P}(m_n \le t) = 1 - \mathbb{P}(m_n > t) = 1 - \big(1 - F(t)\big)^n. \]

\[ \boxed{\;H_n(t)=1-\big(1-F(t)\big)^n\;}. \]

c) Función de densidad \(h_n\) de \(m_n\)

Si \(F\) es derivable con densidad \(f=F'\) (caso continuo), \[ h_n(t) \;=\; \frac{d}{dt}H_n(t) \;=\; \frac{d}{dt}\Big[1-\big(1-F(t)\big)^n\Big] \;=\; -\,n\big(1-F(t)\big)^{n-1}\,\frac{d}{dt}\big(1-F(t)\big). \] Como \(\frac{d}{dt}(1-F(t))=-F'(t)=-f(t)\), \[ \boxed{\;h_n(t)=n\,\big(1-F(t)\big)^{\,n-1}\,f(t)\;}. \]