Enunciado

De un grupo de 100 estudiantes, se sabe que 51 son hombres y 49 son mujeres.
Si se selecciona una muestra de 4 estudiantes sin reemplazo, sea \(X\) la variable aleatoria que representa el número de hombres en la muestra.

X ~ \((N=100, K=51, n=4)\)

Datos iniciales

Total (N) Hombres (K) Mujeres (N-K) Muestra (n)
100 51 49 4

Solución de ejercicios

g) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar tres hombres?

La probabilidad se calcula con combinaciones:

\[ P(\text{3 hombres}) = \frac{\binom{51}{3}\binom{49}{1}}{\binom{100}{4}} \]

## [1] 0.2602312

h) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres y tres hombres?

Nota: Solo se eligen 4 estudiantes. Por tanto, no es posible seleccionar simultáneamente 4 mujeres y 3 hombres. Entonces:

𝑃 (4 mujeres y 3 hombres)=0

## [1] 0

i) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres o tres hombres?

Se trata de la unión de dos eventos:

P(4 mujeres o tres hombres)= P(4M) + P(3H) - P(4M∩3H)

El evento \(4M \cap 3H\) es imposible.

## [1] 0.3142643

j) ¿Cuál es la probabilidad de que no seleccionemos hombres?

Es decir, seleccionar 4 mujeres: \[P(\text{no hombres}) = \frac{\binom{49}{4}}{\binom{100}{4}}\]

\[P(\text{no hombres}) \approx 0.056497\]

## [1] 0.05403311

k) ¿Cuál es la probabilidad de que seleccionemos 1 hombre?

\[P(\text{1 hombre})=\frac{\binom{51}{1}\binom{49}{3}}{\binom{100}{4}}\]

## [1] 0.2396251

l) ¿Cuál es la probabilidad de que seleccionemos 2 hombres?

\[P(\text{2 hombres})=\frac{\binom{51}{2}\binom{49}{2}}{\binom{100}{4}}\]

## [1] 0.3823805

m) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar máximo dos hombres?

Se suman los casos de 0, 1 y 2 hombres:

(≤2H)=P(0H)+P(1H)+P(2H)

## [1] 0.6760387

n) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al menos tres hombres?

Es el complemento de lo anterior:

P(≥3H)=P(3H)+P(4H)

## [1] 0.3239613

o) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar máximo dos mujeres?

Equivalente a \(P(0M)+P(1M)+P(2M)\):

## [1] 0.7063418

p) Si se seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que los tres primeros sean mujeres y el último, un hombre?

Como se selecciona sin reemplazo:

\[P = \frac{49}{100} \cdot \frac{48}{99} \cdot \frac{47}{98} \cdot \frac{51}{97}\]

## [1] 0.05990628