Exercício M01

\[ \begin{bmatrix} 0,5 & 0,4 & 0,1 \\ 0,3 & 0,4 & 0,3 \\ 0,2 & 0,3 & 0,5 \end{bmatrix} \\ i) \ P_{31} = 0,2 \\ ii) \ P_{11} = 0,5 \\ iii) \ P_{13}^2 = 0,22 \]

Exercício M02

\[ \begin{bmatrix} \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots \\ \dots & 0 & p & 0 & 0 & 0 & \dots \\ \dots & 1-p & 0 & p & 0 & 0 & \dots \\ \dots & 0 & 1-p & 0 & p & 0 & \dots \\ \dots & 0 & 0 & 1-p & 0 & p & \dots \\ \dots & 0 & p & 0 & 1-p & 0 & \dots \\ \cdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \]

Exercício M03

\[ \begin{array}{cc} & \begin{array}{ccc} \text{0} & \text{1} & \text{...} & n_{i-1}& n_i & n_{i+1} & \dots & n_{f-1} & n_{f} \end{array} \\ \begin{array}{c} \text{0} & \\ \text{1} & \\ \text{...} & \\ n_{i-1} \\ \text{n_i} & \\ n_{i+1} & \\ \dots \\ n_{f-1} & \\ n_{f} \end{array} & \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 1 -p & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 0 & p & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \dots & 1-p & 0 & p & \dots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1-p & 0 & \dots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & p\\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \end{array} \\ \\ \\ Basicamente \ um \ passeio \ aleatorio \]

Exercicio M04

P <- matrix(c(0.5,0.4,0.1,
              0.3,0.4,0.3,
              0.2,0.3,0.5), byrow = T, nrow = 3)
P2 <- P%*%P
P6 <- P2%*%P2%*%P2
print(P6)
##          [,1]     [,2]     [,3]
## [1,] 0.339396 0.371252 0.289352
## [2,] 0.338604 0.370924 0.290472
## [3,] 0.338044 0.370692 0.291264
print(P6[2,3])
## [1] 0.290472

Exercicio M06

\[ P_{ij}^{n+m} = P(X(n+m)= j | X(00 = i)) \\ = \sum_P P(X(n+m)= j , X(n) = l |X(0) = i ) \\ = \sum_l L(PX(n+m)= j|X(n)=l,X(0)=i)P(X(n)= l|X(0=i)) = \sum_l P_{lj}^mP_{il}^n \\ como \ l=k \\ logo, \ \sum_l P_{lj}^mP_{il}^n = \sum_{l \neq k} P_{lj}^mP_{il}^n + P_{nj}^m P_{ik}^n \\ Ou \ seja, \ partindo \ de \ i \ é \ possivel \ chegar \ em \ j \]

Exercicio M07

\[ P= \begin{bmatrix} 0,5 & 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 & 0,5 \\ 0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,25 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ Assim \ 1 \longleftrightarrow 2, \ 1 \longleftrightarrow 4, \ 2 \longleftrightarrow 4, \ logo \ temos \ duas \ classes \ de \ estados \ comunicantes: \{1,2,4\} \ e \ \{3\} \]

Exercicio M08

\[ \begin{bmatrix} 0,5 & 0,5 & 0 \\ 0,5 & 0,25 & 0,25 \\ 0 & 0,33 & 0,667 \end{bmatrix} \\ a \ cadeia \ é \ irredutivel, \ logo \ todos \ os \ estados \ são \ recorrentes \]

\[ \begin{bmatrix} 0,5 & 0,5 & 0 & 0 \\ 0,5 & 0,5 & 0 & 0 \\ 0,25 & 0,25 & 0,25 & 0,25 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ linhas \ 1,2 \ e \ 4 \ são \ recorrentes\\ 3 \ é \ transiente \]

Exercício M09

P <- matrix(c(0.3,0.2,0.3,0.2,
              0.5,0.2,0.2,0.1,
              0.2,0.6,0.1,0.1,
              0.1,0.1,0.1,0.7), byrow = T, nrow = 4)
n <- dim(P)[1]

sistema <- t(P)-diag(1,nrow = n) # primeiro termo do sistema
sistema <- rbind(sistema,1) # segundo termo do sistema

result <- c(rep(0,n),1) # resultado do sistema
print(solve(sistema[-1,])%*%result[-1])
##           [,1]
## [1,] 0.2667814
## [2,] 0.2392427
## [3,] 0.1772806
## [4,] 0.3166954

Exercicio M10

P <- matrix(c(0.9,0.1,0,
              0.9,0.1,0,
              0,0.2,0.8), byrow = T, nrow = 3)

n <- dim(P)[1]

sistema <- t(P)-diag(1,nrow = n) # primeiro termo do sistema
sistema <- rbind(sistema,1) # segundo termo do sistema

result <- c(rep(0,n),1) # resultado do sistema
print(solve(sistema[-1,])%*%result[-1])
##      [,1]
## [1,]  0.9
## [2,]  0.1
## [3,]  0.0

Exercicio M11

M <- matrix(c(1106,7536,
              7533,3829), byrow = T, nrow = 2)

n <- sum(M)
N1 <- sum(M[1,])
N2 <- sum(M[2,])

P12 <- M[1,2]/N1
P22 <- M[2,2]/N2
P11 <- 1 - P12
P21 <- 1 - P22

pi1 <- N1/n
pi2 <- N2/n

P <- matrix(c(P11,P12,P21,P22),byrow = T, ncol = 2)

var12 <- (P12*(1-P12))/(n*pi1)
var22 <- (P22*(1-P22))/(n*pi2)
qnorm(0.025,mean = P12, sd = sqrt(var12))#IC(p11,95%)
## [1] 0.8649771
qnorm(0.975,mean = P12, sd = sqrt(var12))#IC(p12,95%)
## [1] 0.8790636
qnorm(0.025,mean = P22, sd = sqrt(var22))#IC(p21,95%)
## [1] 0.3283091
qnorm(0.975,mean = P22, sd = sqrt(var22))#IC(p22,95%)
## [1] 0.345692

Exercício M12

DNA <- c("A C T G C A C G T G T G T C T G C A C G T A C T G C A T G C T C G T A C T G T G T C A C T G T C G T C A C T G C C T G C A G T C A G T A C T C G A C T C A C T G A C T C A C G T C G C T C A T G C A C G T G T C G T C A C T A C T G C A C T A C T G A C T G A T G C A T A G T C A T C G T C A T C G T C T C A G T A C T G C A T A T G C C A C T G C A T C G A A T G A C T G C A G T C A C T T G C C A G T C A G T C T A A C T T G A A C A G T A G C T A T G C A T G C T G C A A G T C A C T C G T G C A C T G C A C T G C A A C T G C T G C G C A T G C A G T C A G T C A T G G T C A C T A C A G T C G T C A T C A C T G A C T G C T C A C G T C C T A G T C A C T G C")

string <- strsplit(DNA, " ")[[1]]

letras <- c("A","C","G","T")
numeros <- c("1","2","3","4")

string <- stringr::str_replace(string, letras[1], numeros[1])
string <- stringr::str_replace(string, letras[2], numeros[2])
string <- stringr::str_replace(string, letras[3], numeros[3])
string <- stringr::str_replace(string, letras[4], numeros[4])

vetor <- as.numeric(string)

Com os dados numéricos, ficou fácil criar a matriz de transição: comparei cada valor do vetor com o valor seguinte e adicionei uma observação de transição para cada caso, resultando assim em uma matriz de quantidades de transição:

matriz <- matrix(0,nrow = 4, ncol = 4)
P <- matrix(0,nrow = 4, ncol = 4)

for(i in 1:length(vetor)-1){
  matriz[vetor[i],vetor[i+1]] <- matriz[vetor[i],vetor[i+1]] + 1
}

Para transformar a matriz de quantidade de transição em uma de probabilidade de transição, apenas dividi cada linha da matriz pelo somatório daquela linha:

soma.linhas <- apply(matriz,1,sum)

for(i in 1:4){
  P[i,] <- matriz[i,]/soma.linhas[i]
}
print(P)
##            [,1]       [,2]       [,3]       [,4]
## [1,] 0.07352941 0.50000000 0.20588235 0.22058824
## [2,] 0.41414141 0.04040404 0.16161616 0.38383838
## [3,] 0.11594203 0.40579710 0.01449275 0.46376812
## [4,] 0.14942529 0.39080460 0.43678161 0.02298851
n <- dim(P)[1]

sistema <- t(P)-diag(1,nrow = n) # primeiro termo do sistema
sistema <- rbind(sistema,1) # segundo termo do sistema

result <- c(rep(0,n),1) # resultado do sistema
print(result)
## [1] 0 0 0 0 1
pi <- solve(sistema[-1,])%*%result[-1]
pi
##           [,1]
## [1,] 0.2081665
## [2,] 0.3086031
## [3,] 0.2135988
## [4,] 0.2696315
print(as.numeric(table(vetor)/(length(vetor)+1)))
## [1] 0.2092308 0.3076923 0.2123077 0.2676923

Exercício P01

\[ i) \ \ X \sim exp, \ \ \ E(x) = \frac{1}{\lambda} = 10 \rightarrow \lambda = \frac{1}{10} \\ X \sim exp(\frac{1}{10}), \ \ P(X > 15) = 1- P(X \leq 15 ) = 1-(1-e ^{\frac{-1}{10}15}) \\ = 0,2231 \\ \]

\[ ii) \ \ P(X< 25 | X > 10) = 1- P(X > 15+10 | X > 10) = \\ = 1-P(X>15) = 1-(1- F_X (15)) = \\ = 1 - e^{-1,5} = 0,7769 \]

Exercício P02

\[ X_1 \sim exp(\frac{1}{1000}) \ \ \ , X_2 sim exp(\frac{1}{500}) \\ P(X_1 < X_2) = \frac{\frac{1}{1000}}{\frac{1}{1000} + \frac{1}{500}} = \frac{1}{3} \]

Exercício P03

\[ Var(N(t)) = \lambda t \\ \mathcal{Ou \ seja, \ o \ processo \ não \ é \ estacionário \ na \ variância, \ sendo \ que \ a \ variância \ também \ depende \ de \ t} \]

Exercício P05

\[ X_T \sim Poisson +(1t) \ \ \ , t = dia \]

\[ i) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T_i \sim exp(1) \\ tempo \ de \ chegada \ do \ décimo \rightarrow T_1 + \dots \ + T_{10} \\ = \sum^{n=10}_{i = 1} T_i \sim gamma(10 , 1) \\ E \bigg (\sum^{n=10}_{i = 1} T_i \bigg ) = \frac{10}1 = 10 \ dias \]

\[ ii) \ P(T_{11} < 2) = 1- e^{-2} = 0,8646 \]

Exercício P06

\[ N(t) \sim Poisson(10) \\ quantidade \ que \ fala \ português \rightarrow N_P(t) \sim Poisson(10 \cdot \frac{1}{10}) \\ P(N_p(7) = 0) = e^{-1 \cdot 7} = 0,00091 \]

Exercício P07

\[ N(t) \sim Poisson(10) \\ quantidade \ de \ idosos \rightarrow N_I(t) \sim Poisson(10 \cdot 0,15) \\ E(N_I(t)) = 1,5 \]

Exercicio P08

set.seed(138)
t <- 24
n <- sample(t:(2*t),1)
tempos <- runif(n,0,t)
tempos <- sort(tempos)
ocorrencias <- 1:n
plot(x = tempos, y = ocorrencias, pch = 16, xlab = "Tempo(min)", ylab = "Eventos", col = "blue")
segments(x0 = tempos, x1 = c(tempos[-1],t),y0 = ocorrencias)

estima.lambda <- n/t

round(estima.lambda,3)
## [1] 1.375

Exercicio P09

alfa <- 0.05



Z.alfa <- qnorm(alfa/2)
inf <- (n+Z.alfa*sqrt(estima.lambda*t))/t
sup <- (n-Z.alfa*sqrt(estima.lambda*t))/t

round(sup,3)
## [1] 1.844

exercício P10

\[ \lambda(t) =\begin{cases} 5 + 5t , & 0 < t \leq 3, \\ 20, & 3 < t \leq 5 \\ 20-2(t-5), & 5 < t \leq 9 \\ 0, & t > 9 \end{cases} \]

\[ m(1,5) = \int^{1,5}_0 5 + 5t \ dt = (5t+ \frac{5}{2}t^2) \bigg\arrowvert^{1,5}_0 = 13,125 \\ m(0,5) = \int^{0,5}_0 5 + 5t \ dt = (5t+ \frac{5}{2}t^2) \bigg\arrowvert^{0,5}_0 = 3,125 \\ P(N(1,5) - N(0,5) = 0 ) = e^{-(m(1,5) - m(0,5))} = e^{-(10)} = 0,00004539 \]

\[ E(N(t)) = m(t) \\ \int^3_{2,5} 5 + 5t \ dt \ + \ \int^{4,5}_320 \ dt = 39,375 \]

Exercício P11

\[ Y_i \sim N(70,10^2) \\ X(t) = \sum^{N(t)}_{i=0} Y_i \\ sendo \ \lambda = 2, \ então \ E(X(t)) = 2E(Y_i) = 140 \ e \ Var(X(T)) = (10(\sqrt2))^2 \\ logo, \ \ \ P(X>200) = P \bigg( \frac{X-140}{10\sqrt2} > \frac{200-140}{10\sqrt2}\bigg) = \\ = P(N(0,1) > 4,24) = 1- P(N(0,1) \leq 4,24) = 0 \]