Determinación de la función acumulada

Consideremos dos variables \(X_1\) y \(X_2\) independientes, ambas con distribución exponencial de parámetro \(\lambda > 0\).
Su densidad conjunta está dada por:

\[ f(x_1, x_2) = \lambda^2 e^{-\lambda(x_1 + x_2)}, \quad x_1 \ge 0,\; x_2 \ge 0. \]

Se desea obtener \(F_X(t)\), la función de distribución acumulada de la variable

\[ X = X_1 + X_2, \]

efectuando la integración en el orden \(dx_1\) y luego \(dx_2\).

1. Determinación de la región de integración

El evento \(X \le t\) equivale a \(x_1 \ge 0,\; x_2 \ge 0,\; x_1 + x_2 \le t\).
En el plano \((x_1, x_2)\), esta región corresponde a un triángulo recto delimitado por los ejes y la recta \(x_1 + x_2 = t\).

Al integrar primero respecto de \(x_1\):

  • Para un valor fijo de \(x_2\), \(x_1\) varía de \(0\) a \(t - x_2\).
  • El valor de \(x_2\) se mueve entre \(0\) y \(t\).

Así, la CDF puede expresarse como:

\[ F_X(t) = \int_{x_2 = 0}^{t} \left[ \int_{x_1 = 0}^{t - x_2} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1 + x_2)}\, dx_1 \right] dx_2. \]

2. Evaluación de la integral interna

Resolviendo la integral respecto de \(x_1\):

\[ \int_{0}^{t - x_2} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1 + x_2)}\, dx_1 = \lambda e^{-\lambda x_2} \left[ 1 - e^{-\lambda(t - x_2)} \right]. \]

3. Evaluación de la integral externa

Sustituyendo en la expresión de \(F_X(t)\):

\[ F_X(t) = \int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda x_2} \left[ 1 - e^{-\lambda(t - x_2)} \right] dx_2. \]

Separando en dos integrales y resolviendo:

\[ F_X(t) = \left[ 1 - e^{-\lambda t} \right] - \lambda t e^{-\lambda t}. \]

4. Resultado final

Por lo tanto, la función de distribución acumulada es:

\[ F_X(t) = \begin{cases} 0, & t < 0, \\ 1 - e^{-\lambda t}\,(1 + \lambda t), & t \ge 0. \end{cases} \]

Esta es la CDF de una distribución Gamma con parámetros \(k=2\) y \(\lambda\).