Controle Estatístico de Qualidade

O que são índices de capacidade?

• Medidas que avaliam a capacidade do processo de produzir dentro dos limites especificados.
• Comparam a dispersão do processo com os limites de especificação.

Limites de especificação

• Limite inferior (LIE): valor mínimo aceitável
• Limite superior (LSE): valor máximo aceitável
• Definidos pelo projeto ou cliente.

Índice Cp – Capacidade Potencial

\[ Cp = \frac{LSE - LIE}{6\sigma} \]

• Mede a largura do intervalo de especificação em relação à variabilidade do processo.
• Não considera o centramento.

Quanto maior o Cp, melhor.

Na prática, o desvio padrão é desconhecido e deve ser substituído por uma estimativa de \(\sigma\).

\[ \hat{C}p = \frac{LSE - LIE}{6\hat{\sigma}} \]

Normalmente utilizamos \(s\) ou \(\bar{R}/d_{2}\) para \(\hat{\sigma}\).

Percentagem da especificação

A percentagem utilizada mede o quanto da faixa de tolerância está sendo ocupada pela variabilidade do processo.

\[ P_{esp} = \dfrac{1}{C_{p}}\times 100\]

• Valores baixos indicam boa folga para atender especificações.

• Valores altos indicam risco de não conformidade.

Teste de Hipótese para C\(_{p}\)

• Hipóteses:

\[ H_0: C_p = C_{p0} \quad\quad H_1: C_p \neq C_{p0} \]

É comum usarmos \(C_{p0}\) igual 1,00 ou 1,33.

• Estatística de teste (assumindo normalidade):

\[ \chi^2 = \frac{(n-1) \cdot s^2}{\sigma^{2}_{0}} \sim \chi^2_{n-1} \]

• O teste envolve verificar se \(\sigma\) é menor ou igual a:

\[ \sigma_{0} = \dfrac{LSE-LIE}{6 \cdot C_{p0}} \]

• Rejeitar \(H_{0}\) se \(\chi^{2} <\chi^{2}_{\alpha,n-1}\).

• Isso significa que a variabilidade é suficientemente baixa para atingir o \(C_{p}\) desejado.

Exemplo:

Dados:

LIE = 9,9 mm

LSE = 10,1 mm

n=30 peças, s = 0,021 mm

C\(_{p0}\)=1,33

• Passo 1: Calcular \(\sigma_{0}\)

\[ \sigma_{0} = \dfrac{10,1 - 9,9}{6 \cdot 1,33} = 0,0251 \]

• Passo 2: Estatística de teste

\[ \chi^2 = \frac{(30-1) \cdot 0,021^{2}}{0,0251^{2}} = 20,34 \]

• Passo 3: Valor crítico para \(\alpha\) = 0,05, gl = 29

\[ \chi^{2}_{0,05;\; 29} = 17,71 \]

Passo 4: Como 20,34 > 17,71, não rejeitamos \(H_{0}\), ou seja, o processo não é capaz.

Índices Cpu e Cpl

\[ Cpu = \frac{LSE - \mu}{3\sigma}, \quad Cpl = \frac{\mu - LIE}{3\sigma} \]

• Avaliam a capacidade unilateral, levando em conta a posição da média em relação aos limites.

Substituindo pelas estimativas:

\[ \hat{C}pu = \frac{LSE - \bar{x}}{3\hat{\sigma}}, \quad \hat{C}pl = \frac{\bar{x} - LIE}{3\hat{\sigma}} \]

Índice Cpk – Capacidade Real

\[ Cpk = \min(Cpu, Cpl) \]

• Considera deslocamento da média.
• É o mais usado na prática para representar a capacidade efetiva.

A variabilidade do processo corresponde a 69,7% de toda a variabilidade permitida (LSE - LIE).

A variabilidade do processo corresponde a 80,6% de toda a variabilidade permitida (LSE - LIE).

Exemplo com dados simulados

set.seed(123)
dados <- rnorm(100, mean = 10, sd = 0.4)
media <- mean(dados)
desvio <- sd(dados)

LIE <- 9.0
LSE <- 11.0

Cp <- (LSE - LIE) / (6 * desvio)
Cpu <- (LSE - media) / (3 * desvio)
Cpl <- (media - LIE) / (3 * desvio)
Cpk <- min(Cpu, Cpl)

Interpretação

• Cp alto: processo com baixa variabilidade

• Cpk menor que Cp: processo descentrado

• Cpk > 1.33: processo capaz

• Cpk < 1.00: processo não capaz

Conclusões

• Índices de capacidade são essenciais para avaliar a qualidade do processo.

• O índice Cpk considera o deslocamento da média.

• Use gráficos e tabelas para tomar decisões sobre ajustes no processo.

Exercícios

1. Um processo tem: LIE = 45, LSE = 55 e \(\sigma\)= 1,5. Calcule C\(_{p}\).

2. Sabendo que LIE = 12,0, LSE = 12,6, \(\bar{x}\)= 12,25 e \(\sigma\) = 0,06, calcule C\(_{pu}\), C\(_{pl}\) e C\(_{pk}\).

3. Um processo apresenta C\(_{p}\) = 1,40. Qual é a percentagem da especificação utilizada?

4. Um processo de envase tem LIE = 495 mL, LSE = 505 mL, \(\bar{x}\) = 503 mL e \(\sigma\) = 2 mL. Calcule C\(_{pu}\), C\(_{pl}\) e C\(_{pk}\) e interprete se o processo é capaz.

5. Considere LIE = 97, LSE = 103, n = 30 e S = 0,8. Teste, ao nível de significância de 5%, se o processo é capaz para Cp = 1,33.

6. Você coletou 20 amostras de 5 peças cada, medindo o diâmetro (em mm) de um componente com LIE = 50,00 e LSE = 50,08.

1. Calcular \(\sigma_{0}\).
2. C\(_{p}\), C\(_{pu}\), C\(_{pl}\) e C\(_{pk}\).
3. Calcular a percentagem de especificação utilizada.
4. Avaliar se o processo é capaz.

7. Uma indústria alimentícia deseja verificar a capacidade do processo de empacotamento de açúcar (peso em gramas). Dados coletados (n = 10, uma medida por pacote):

1005, 1008, 1004, 1007, 1006, 1009, 1005, 1004, 1008, 1006.

Especificações: LIE = 1000 g, LSE = 1010 g.

1. Calcular C\(_{p}\), C\(_{pu}\), C\(_{pl}\) e C\(_{pk}\).
2. Determinar a percentagem da especificação utilizada.
3. Construir um histograma com os limites de especificação.
4. Interpretar os resultados.

Pacote qcc

• Função principal: qcc(data, type, sizes, center, std.dev, ...)

• Tipos comuns:

  • Variáveis: "xbar", "R", "S", "xbar.one" (individuais)

  • Atributos: "p", "np", "c", "u"

• Fases:
  • Fase I (estudo): estima parâmetros e limites.
  • Fase II (monitoramento): avalia dados novos via newdata

• Exemplo: Dataset simulado (20 amostras, n = 5 cada).

library(qcc)
set.seed = 741

n_samples = 20
n_size = 5
dados = matrix(rnorm(n_samples*n_size, 
        mean = 10, sd = 0.20),
        ncol = n_size, byrow = TRUE)
head(dados)

Gráfico X-bar (variáveis)

q_xbar <- qcc(dados, type = "xbar", sizes = n_size,
              xlab = "Amostra", ylab = "Média",
              title = "Gráfico de Controle X-bar")
q_xbar$limits   # LIC e LSC
q_xbar$center   # linha central

Gráfico R (amplitude) – variabilidade intralote

q_R <- qcc(dados, type = "R", sizes = n_size,
           xlab = "Amostra", ylab = "Amplitude",
           title = "Gráfico de Controle R")

Individuais e amplitude móvel (X-bar.one / IMR)

x_ind <- rnorm(60, mean = 10, sd = 0.15)
q_ind <- qcc(x_ind, type = "xbar.one",
             xlab = "Ordem", ylab = "Valor",
             title = "Individuais (X-bar.one)")

Dica: para IMR, use type = "xbar.one" para individuais e construa a amplitude móvel com funções auxiliares, se necessário.

Atributos: gráfico p (proporção de defeituosos)

defeitos <- c(2,1,0,3,2,1,0,4,2,1, 2,3,1,0,2)
tamanhos <- rep(50, length(defeitos))

q_p <- qcc(defeitos, type = "p", sizes = tamanhos,
           xlab = "Amostra", ylab = "Proporção defeituosa",
           title = "Gráfico p")

• Outros:

  • type = "np" (número de defeituosos, tamanhos fixos)

  • type = "c" (contagem de não conformidades, área fixa)

  • type = "u" (contagem por unidade, área variável)

• Fase I (estudo) \(\rightarrow\) Fase II (monitoramento)

  • Fase I: ajusta limites com dados históricos

  • Fase II: monitora novas amostras (newdata)

# Fase I
q_xbar_f1 <- qcc(dados, type = "xbar", sizes = n_size)

# Novas amostras (Fase II)
dados_novos <- matrix(rnorm(5*n_size, mean = 10.10, sd = 0.20),
                      ncol = n_size, byrow = TRUE)

q_xbar_f2 <- qcc(dados, type = "xbar", sizes = n_size,
                 newdata = dados_novos,
                 title = "Fase II: monitoramento com newdata")

Tendências e padrões (sinais suplementares)

• Exemplos práticos a observar:

  • Sequência de pontos do mesmo lado da LC.

  • Tendência crescente/decrescente longa.

  • Ciclos sugerindo sazonalidade/turnos.

• Estratégia:

  • Confirmar medição.

  • Procurar causas especiais (máquina, operador, matéria-prima, setup).

  • Corrigir e voltar a fase estável.

Capacidade do processo

• A partir de um gráfico para variáveis (em controle), use process.capability():

spec <- c(9.5, 10.5)
pc   <- process.capability(q_xbar, spec.limits = spec)
pc$indices

• Percentual da especificação utilizada

Cp <- pc$indices["Cp"]
pct <- 100 / Cp
pct

[1] 118.5267

• Interpretação:

  • % baixo \(\rightarrow\) boa folga

  • % alto \(\rightarrow\) risco de não conformidade

• Checklist prático

  • Dados confiáveis? (medição, limpeza).

  • Processo em controle antes de falar de capacidade.

  • Escolha o gráfico adequado (variáveis × atributos).

  • Tamanho de amostra coerente.

  • Verifique tendências/padrões.

  • Documente ações corretivas.

Exercícios

1. Gere 25 amostras (n = 4) de N(50,0.3\(^{2}\)) e construa X-bar + R. Interprete.

2. Simule 12 amostras de 200 itens com defeitos (Poisson/Binomial) e construa:

1. p e np (com tamanhos constantes);
2. u com tamanhos variáveis.

3. Com especificações [49,51], estime C\(_{p}\) C\(_{pk}\) e a percentagem de especificação usada.

4. Introduza dois pontos anômalos e discuta o impacto no monitoramento (Fase II).

5. Gere um relatório em markdown.

Referência

• LOUZADA, Francisco; DINIZ, Carlos; FERREIRA, Paulo. Controle estatístico de processos: uma abordagem prática para cursos de engenharia e administração. Grupo Gen-LTC, 2000.

• Montgomery, D. C. (2009). Introduction to Statistical Quality Control (7ª ed.). Wiley.

• help(qcc), vignette(“qcc”)