Cálculo de la función de densidad acumulada

Problema

Sean \(X_1\) y \(X_2\) variables aleatorias independientes con distribución exponencial de parámetro \(\lambda\).
Su función de densidad conjunta es:
\[ f(x_1,x_2) = \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)}, \quad x_1 \ge 0, \; x_2 \ge 0. \]

Queremos calcular la función de distribución acumulada de:
\[ X = X_1 + X_2 \]
integrando en el orden \(dx_1\,dx_2\).

(1) Región de integración

La región donde integramos es:
\[ I = \left\{ (x_1, x_2) \ \middle|\ x_1 \ge 0, \; x_2 \ge 0, \; x_1 + x_2 \le t \right\}. \]

  • Si integramos en orden \(dx_1\,dx_2\):
    1. Fijamos \(x_2\) (límites externos).
    2. Para cada valor fijo de \(x_2\), \(x_1\) varía desde \(0\) hasta \(t - x_2\).

Por lo tanto:
- Límite externo: \(x_2 \in [0,\, t]\)
- Límite interno: \(x_1 \in [0,\, t - x_2]\)

La función de distribución acumulada la definimos como:
\[ F_X(t) = \int_{x_2 = 0}^{t} \ \int_{x_1 = 0}^{t - x_2} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1 + x_2)} \, dx_1 \, dx_2 \]

(2) Integral interior (\(dx_1\))

Partimos con: \[ \int_{x_1 = 0}^{t - x_2} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1 + x_2)} \, dx_1 \]
Como \(x_2\) está fijo en esta integral, podemos factorizar \(e^{-\lambda x_2}\) fuera de la integral respecto a \(x_1\):
\[ = \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \ \int_{x_1 = 0}^{t - x_2} e^{-\lambda x_1} \, dx_1 \]

Sabemos que:
\[ \int e^{-\lambda x_1} \, dx_1 = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x_1} + C \]

Aplicamos los límites \(x_1 = 0\) y \(x_1 = t - x_2\):

  1. Evaluando en \(x_1 = t - x_2\):
    \[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda(t - x_2)} \]

  2. Evaluando en \(x_1 = 0\):
    \[ -\frac{1}{\lambda} e^{0} = -\frac{1}{\lambda} \]

Luego por el Teorema Fundamental del Cálculo tenemos:

\[ \int_{0}^{t - x_2} e^{-\lambda x_1} \, dx_1 = \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x_1} \right]_{0}^{t - x_2} \]
\[ = \left( -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda(t - x_2)} \right) - \left( -\frac{1}{\lambda} \right) \]
\[ = \frac{1}{\lambda} \left[ 1 - e^{-\lambda(t - x_2)} \right] \]

Ahora, al multiplicar por el factor constante:

\[ \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \cdot \frac{1}{\lambda} \left[ 1 - e^{-\lambda(t - x_2)} \right] \]
\[ = \lambda e^{-\lambda x_2} \left[ 1 - e^{-\lambda(t - x_2)} \right] \]

Resultado de la integral interior: \[ \boxed{\lambda e^{-\lambda x_2} - \lambda e^{-\lambda t}} \]

(3) Integral exterior \((dx_2)\)

Ahora calculamos:
\[ F_X(t) = \int_{0}^{t} \left[ \lambda e^{-\lambda x_2} - \lambda e^{-\lambda t} \right] dx_2 \]

Primero separamos en dos integrales:

\[ F_X(t) = \underbrace{\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda x_2} \, dx_2}_{(1)} \ - \ \underbrace{\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda t} \, dx_2}_{(2)} \]

Integral (1)

\[ \int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda x_2} \, dx_2 \]

\[ =\int \lambda e^{-\lambda x_2} \, dx_2 = - e^{-\lambda x_2} + C \]
Evaluando límites: \[ = \left[ - e^{-\lambda x_2} \right]_{0}^{t} = \left( - e^{-\lambda t} \right) - \left( - e^{0} \right) \]
\[ = 1 - e^{-\lambda t} \]

Integral (2)

Como \(e^{-\lambda t}\) es constante respecto a \(x_2\): \[ \int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda t} \, dx_2 = \lambda e^{-\lambda t} \int_{0}^{t} 1 \, dx_2 \]
\[ = \lambda e^{-\lambda t} \cdot \left[ x_2 \right]_{0}^{t} \]
\[ = \lambda e^{-\lambda t} \cdot (t - 0) \]
\[ = \lambda t \, e^{-\lambda t} \]

Al restar los resultados nos queda:
\[ F_X(t) = \left( 1 - e^{-\lambda t} \right) - \left( \lambda t \, e^{-\lambda t} \right) \]

(4) Resultado

\[ \boxed{F_X(t) = 1 - e^{-\lambda t} - \lambda t \, e^{-\lambda t}}, \quad t \ge 0 \]