Tenemos la densidad exponencial: \[ f(x) = \lambda e^{-\lambda (x)} \] Se quiere calcular la probabilidad: \[ F_X(t) = P(X_1 + X_2 \le t) \] Si \(X_1\) y \(X_2\) son independientes y cada una tiene: \(f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}\),
entonces:
\[ f(x_1, x_2) = f_{X_1}(x_1), f_{X_2}(x_2) = \lambda^2 e^{-\lambda (x_1 + x_2)}, \quad x_1, x_2 \ge 0 \] Los limites de integracion son: \[ \{ x_2 \in [0, t], \quad x_1 \in [0, t - x_2] \} \] La integral que se quiere resolver es: \[ \int_{0}^{t} \int_{0}^{t-x_2} \lambda^2 e^{-\lambda (x_1 + x_2)} \, dx_1 \, dx_2 \]
Partimos de la integral:
\[ \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \int_{0}^{t - x_2} e^{-\lambda x_1} \, dx_1 \]
Integramos respecto a \(x_1\):
\[ = \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \left[ \frac{-1}{\lambda} e^{-\lambda x_1} \right]_{0}^{t - x_2} \]
Evaluamos en los límites de integracion:
\[ = \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \left( \frac{-1}{\lambda} e^{-\lambda (t - x_2)} - \frac{-1}{\lambda} \cdot 1 \right) \] \[ = \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \left( \frac{-1}{\lambda} e^{-\lambda (t - x_2)} + \frac{1}{\lambda} \right) \]
Se factoriza \(\frac{1}{\lambda}\):
\[ = \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \cdot \frac{1}{\lambda} \left[ 1 - e^{-\lambda (t - x_2)} \right] \]
Luego:
\[ = \lambda e^{-\lambda x_2} \left[ 1 - e^{-\lambda (t - x_2)} \right] \]
\[ = \lambda e^{-\lambda x_2} - \lambda e^{-\lambda x_2} \cdot e^{-\lambda (t - x_2)} \]
\[ = \lambda e^{-\lambda x_2} - \lambda e^{-\lambda t} \]
Resultado de la primera integral:
\[ \boxed{\lambda e^{-\lambda x_2} - \lambda e^{-\lambda t}} \]
Partimos de la integral:
\[ F_X(t) = \int_{0}^{t} \left( \lambda e^{-\lambda x_2} - \lambda e^{-\lambda t} \right) dx_2 \]
Resolvemos la primera integral: \(\lambda e^{-\lambda x_2}\):
\[ \int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda x_2} \, dx_2 = \lambda \cdot \left[ \frac{-1}{\lambda} e^{-\lambda x_2} \right]_{0}^{t} \] \[ = \left[ - e^{-\lambda x_2} \right]_{0}^{t} = - e^{-\lambda t} + 1 \] \[ = 1 - e^{-\lambda t} \]
Resolvemos la segunda integral: \(-\lambda e^{-\lambda t}\):
\[ \int_{0}^{t} \left( -\lambda e^{-\lambda t} \right) dx_2 = -\lambda e^{-\lambda t} \cdot \left[ x_2 \right]_{0}^{t} \] \[ = -\lambda e^{-\lambda t} \cdot t = -\lambda t \, e^{-\lambda t} \]
Sumamos ambas integrales:
\[ F_X(t) = \left( 1 - e^{-\lambda t} \right) - \lambda t \, e^{-\lambda t} \]
Factorizamos \(e^{-\lambda t}\):
\[ F_X(t) = 1 - e^{-\lambda t} ( 1 + \lambda t ) \]
El resultado final es: \[ \boxed{F_X(t) = 1 - e^{-\lambda t} ( 1 + \lambda t )} \]