Universidad del Norte
Tiffany Mendoza Sampayo
Estadistica matemática 2025-03 | Agosto 10, 2025
En esta actividad se utiliza la integral asignada en clase, en esta ocasión, resolviendola cambiando el orden de integración como trabajo en casa.
El objetivo es determinar la probabilidad acumulada:
\[ F_X(t) = P\big(X_1 + X_2 \le t\big) \]
\[ f_{X_1,X_2}(x_1, x_2) = \lambda^2 \, e^{-\lambda (x_1 + x_2)} \]
La probabilidad se calcula sobre el conjunto:
\[ R = \{ (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \;:\; x_1 \ge 0,\; x_2 \ge 0,\; x_1 + x_2 \le t \} \]
\[ F_X(t) = \int_{0}^{t} \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \left[ \int_{0}^{t-x_2} e^{-\lambda x_1} dx_1 \right] dx_2 \]
Resolviendo la integral interior:
\[ \int_{0}^{t-x_2} e^{-\lambda x_1} dx_1 = \left[ \frac{-1}{\lambda} e^{-\lambda x_1} \right]_{0}^{t-x_2} = \frac{-1}{\lambda} e^{-\lambda(t-x_2)} + \frac{1}{\lambda} \]
Multiplicando por \(\lambda^2 e^{-\lambda x_2}\):
\[ \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \cdot \frac{-1}{\lambda} e^{-\lambda(t-x_2)} + \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \cdot \frac{1}{\lambda} = -\lambda e^{-\lambda t} + \lambda e^{-\lambda x_2} \]
\[ F_X(t) = \int_{0}^{t} \left[ -\lambda e^{-\lambda t} + \lambda e^{-\lambda x_2} \right] dx_2 \]
Primera integral:
\[ \int_{0}^{t} -\lambda e^{-\lambda t} dx_2 = -\lambda t e^{-\lambda t} \]
Segunda integral:
\[ \int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda x_2} dx_2 = \left[ - e^{-\lambda x_2} \right]_{0}^{t} = - e^{-\lambda t} + 1 \]
\[ F_X(t) = 1 - e^{-\lambda t} - \lambda t e^{-\lambda t} \]