El ejercicio que se presenta a continuación tiene el propósito de
calcular una integral doble, modificando el orden de integración con
respecto al procedimiento desarrollado en clase.
Ejemplo 4.2 El tiempo que se utiliza para atender un cliente en una ventanilla de un banco es una variable aleatoria, que tiene distribución exponencial con parámetro \(\lambda\). Sean \(X_1\) y \(X_2\) variables aleatorias independientes que representan los tiempos para atender a dos clientes diferentes. Si \(X=X_1+X_2\) representa el tiempo total de atención, halle:
a) La función de distribución acumulada de \(X\).
En clase calculamos la función de distribución conjunta \(f(x_1, x_2)\). Sea \(F_X\) la función de distribución acumulada de \(X\). Teniendo en cuenta la región de integración \(I:=\{(x_1,x_2) \mid x_1+x_2 \leq t\}\) para \(t \geq 0\) y fijando \(x_2\), obtenemos:
\[
F_X(t)=P(X_1+X_2 \leq t)=\iint\limits_{I}f(x_1,x_2)dx_1dx_2 =
\int\limits_{0}^{t} \int\limits_{0}^{t-x_2}\lambda^2
e^{-\lambda(x_1+x_2)}dx_1dx_2 = \int\limits_{0}^{t} \lambda^2
e^{-\lambda x_2} \left( \int\limits_{0}^{t-x_2} e^{-\lambda x_1}dx_1
\right) dx_2
\]
Primero integramos con respecto a \(x_1\):
\[
F_X(t) = \int\limits_{0}^{t} \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \quad \left[
\frac{e^{-\lambda x_1}}{-\lambda} \right]_{0}^{t-x_2} dx_2 =
\int\limits_{0}^{t} \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \left[
-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda(t-x_2)} + \frac{1}{\lambda} \right]dx_2 =
\int\limits_{0}^{t} -\lambda e^{-\lambda t} +\lambda e^{-\lambda x_2}
dx_2
\]
Luego integramos con respecto a \(x_2\):
\[
F_X(t) = \left[-\lambda e^{-\lambda t}x_2 - e^{-\lambda
x_2}\right]_{0}^{t} = -\lambda e^{-\lambda t}t - e^{-\lambda t} +1
\]
Por tanto,
\[ F_X(t) = 1 - e^{-\lambda t} - \lambda t e^{-\lambda t} \]