Queremos calcular, para \(t \ge 0\) y \(\lambda > 0\), la integral doble:
\[ F(t) = \int_{0}^{t} \int_{0}^{t - x_2} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1 + x_2)} \, dx_1 \, dx_2 \]
Fijamos \(x_2\):
\[ I_1(x_2) = \int_{0}^{t - x_2} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1 + x_2)} \, dx_1 \]
Factorizamos lo que no depende de \(x_1\):
\[ I_1(x_2) = \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \int_{0}^{t - x_2} e^{-\lambda x_1} \, dx_1 \]
La integral es:
\[ \int_{0}^{t - x_2} e^{-\lambda x_1} \, dx_1 = \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x_1} \right]_{0}^{t - x_2} = \frac{1}{\lambda} \left( 1 - e^{-\lambda(t - x_2)} \right) \]
Por lo tanto:
\[ I_1(x_2) = \lambda e^{-\lambda x_2} \left( 1 - e^{-\lambda(t - x_2)} \right) \]
Ahora integramos:
\[ F(t) = \int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda x_2} \left( 1 - e^{-\lambda(t - x_2)} \right) dx_2 \]
Separamos en dos integrales:
\[ F(t) = \lambda \int_{0}^{t} e^{-\lambda x_2} dx_2 - \lambda \int_{0}^{t} e^{-\lambda x_2} e^{-\lambda(t - x_2)} dx_2 \]
Notamos que:
\[ e^{-\lambda x_2} e^{-\lambda(t - x_2)} = e^{-\lambda t} \]
\[ \lambda \int_{0}^{t} e^{-\lambda x_2} dx_2 = \lambda \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x_2} \right]_{0}^{t} = 1 - e^{-\lambda t} \]
\[ \lambda \int_{0}^{t} e^{-\lambda t} dx_2 = \lambda e^{-\lambda t} \cdot t \]
Por lo tanto:
\[ F(t) = \left( 1 - e^{-\lambda t} \right) - \lambda t e^{-\lambda t} = 1 - e^{-\lambda t} \left( 1 + \lambda t \right) \]
La expresión final:
\[ F(t) = 1 - e^{-\lambda t} ( 1 + \lambda t ) \]