Descripción del problema

Dos tiempos de servicio \(X_1\) y \(X_2\) se modelan como variables aleatorias independientes con distribución exponencial de parámetro \(\lambda > 0\).
Definimos la suma: \[ X = X_1 + X_2 \]

Planteamiento teórico

Por independencia: \[ f_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = \lambda e^{-\lambda x_1} \cdot \lambda e^{-\lambda x_2} = \lambda^2 e^{-\lambda (x_1 + x_2)} \] La región de integración para \(X_1 + X_2 \le t\) corresponde a: \[ 0 \le x_2 \le t,\quad 0 \le x_1 \le t - x_2 \]

Cálculo de la CDF

Se tiene: \[ F_X(t) = \int_{0}^{t} \int_{0}^{t - x_2} \lambda^2 e^{-\lambda (x_1 + x_2)} \, dx_1 \, dx_2 \]

  1. Integración en \(x_1\): \[ \int_{0}^{t-x_2} \lambda^2 e^{-\lambda (x_1 + x_2)} dx_1 = \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x_1} \right]_{0}^{t-x_2} \] \[ = -\lambda e^{-\lambda t} + \lambda e^{-\lambda x_2} \]

  2. Integración en \(x_2\): \[ F_X(t) = \int_{0}^{t} \left( -\lambda e^{-\lambda t} + \lambda e^{-\lambda x_2} \right) dx_2 \] \[ = -\lambda t e^{-\lambda t} + \left[ -e^{-\lambda x_2} \right]_{0}^{t} \] \[ \boxed{F_X(t) = 1 - e^{-\lambda t}(1 + \lambda t)},\quad t \ge 0 \]

Función de densidad

La derivada de la CDF nos da: \[ \boxed{f_X(t) = \lambda^2 t \, e^{-\lambda t}},\quad t \ge 0 \] Esta es la densidad de una distribución Gamma con \(k=2\) y \(\theta = 1/\lambda\).

Momentos

Si \(\bar{X} = X / 2\): \[ E[X] = \frac{2}{\lambda},\quad V[X] = \frac{2}{\lambda^2} \] \[ E[\bar{X}] = \frac{1}{\lambda},\quad V[\bar{X}] = \frac{1}{2\lambda^2} \]