Queremos calcular \[ F_X(t)=P(X_1+X_2\le t), \] La densidad conjunta es \[ f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=\lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)},\qquad x_1\ge0,\ x_2\ge0. \] La región de integración es \[ I=\{(x_1,x_2):x_1\ge0,\ x_2\ge0,\ x_1+x_2\le t\}. \]
Escribimos la integral doble con los límites correspondientes (primero \(x_1\), luego \(x_2\))
Resolvemos \[ \int_{0}^{t-x_2}\lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)}\,dx_1. \] Hacemos paso a paso:
\[ \begin{aligned} \int_{0}^{t-x_2}\lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)}\,dx_1 &= \lambda^2 e^{-\lambda x_2}\int_{0}^{t-x_2} e^{-\lambda x_1}\,dx_1\\[6pt] &= \lambda^2 e^{-\lambda x_2}\left[\frac{-1}{\lambda} e^{-\lambda x_1}\right]_{0}^{\,t-x_2}\\[6pt] &= \lambda^2 e^{-\lambda x_2}\left(\frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda(t-x_2)} - \frac{-1}{\lambda}e^{0}\right)\\[6pt] &= \lambda^2 e^{-\lambda x_2}\left(\frac{1 - e^{-\lambda(t-x_2)}}{\lambda}\right)\\[6pt] &= \lambda\, e^{-\lambda x_2}\Big(1 - e^{-\lambda(t-x_2)}\Big). \end{aligned} \]
La integral interior queda: \[ \int_{0}^{t-x_2}\lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)}\,dx_1 = \lambda\, e^{-\lambda x_2}\big(1 - e^{-\lambda(t-x_2)}\big). \]
Sustituimos la expresión anterior en la integral exterior: \[ \begin{aligned} F_X(t) &= \int_{0}^{t} \lambda\, e^{-\lambda x_2}\big(1 - e^{-\lambda(t-x_2)}\big)\,dx_2\\[6pt] &= \lambda\int_{0}^{t} e^{-\lambda x_2}\,dx_2 \;-\; \lambda\int_{0}^{t} e^{-\lambda x_2}e^{-\lambda(t-x_2)}\,dx_2. \end{aligned} \]
Notemos \(e^{-\lambda x_2}e^{-\lambda(t-x_2)}=e^{-\lambda t}\)
\[ \begin{aligned} F_X(t) &= \lambda\int_{0}^{t} e^{-\lambda x_2}\,dx_2 \;-\; \lambda\int_{0}^{t} e^{-\lambda t}\,dx_2\\[6pt] &= \lambda\left[ \frac{-1}{\lambda} e^{-\lambda x_2} \right]_{0}^{t} \;-\; \lambda e^{-\lambda t} [x_2]_{0}^{t}\\[6pt] &= \big(1 - e^{-\lambda t}\big) \;-\; \lambda t e^{-\lambda t}. \end{aligned} \]
Finalmente, \[ \boxed{\,F_X(t)=1 - e^{-\lambda t} - \lambda t e^{-\lambda t}\,} \]