INTRODUCCIÓN

En este documento se presenta la solución al ejercicio asignado en clase, cuyo propósito es resolver una integral dada aplicando el cambio de orden de integración. A continuación, se expone el enunciado del problema propuesto.


PROBLEMA

Example 4.2 El tiempo que se utiliza para atender un cliente en una ventanilla de un banco es una variable aleatoria, que tiene distribución exponencial con parámetro \(\lambda\). Sean \(\ X_{1}\) y \(X_{2}\) variables aleatorias independientes que representan los tiempos para atender a dos clientes diferentes. Si \(X = X_{1} + X_{2}\) representa el tiempo total de atención, halle:

  • La función de distribución acumulada de \(X\).
  • La función de densidad de \(X\).
  • La función de densidad de \({\overline{X}} = \frac{X}{2}\)
  • \(E(\overline{X}), V(\overline{X}), E(X), V(X)\)


DESARROLLO

A continuación, se presenta una gráfica de la región de integración, la cual permite visualizar de forma más clara y precisa los límites de integración.

t <- 5

regionI <- data.frame(
  x = c(0, t, 0),
  y = c(0, 0, t)
)

ggplot() +
  geom_polygon(data = regionI, aes(x = x, y = y), fill = "yellow", alpha = 0.5, color = "black") +
  #Dibuja un poligono (En este caso un triángulo) con los puntos de la región I - aes: Sirve para señalar cual sera la coordenada horizontal y vertical - fill: El relleno del triángulo - alpha: Le indica que tan transparente debe ser - color: El contorno del triángulo.
  
  # Línea de frontera x1 + x2 = t
  geom_abline(intercept = t, slope = -1, color = "red", size = 1) +
  #Dibuja una línea recta - intercept: Es el punto donde la recta cruza el eje Y - slope: es la pendiente - size: Grosor de la línea.
  
  annotate("segment", x = 0, xend = 0, y = 0, yend = t,
           arrow = arrow(length = unit(0.2, "inches")), color = "blue", linewidth = 1) +
  #Annotate sirve para añadir elementos extra al gráfico que no vienen de los datos - Segment: Dibuja un segmento de línea - Necesita los puntos de inicio y de final - arrow: Añade una flecha en el extremo final del segmento, length tamaño - color: el color de la flecha - linewidth: El grosor de la flecha.
  
  annotate("text", x = 0.2, y = t - 0.5, label = expression(x[2] ~ ": 0 → t"), color = "blue", hjust = 0) +
  #Coloca un texto - x y y: Las coordenadas - label: El texto que se va a mostrar - hjust: Alineación
  
 
  annotate("segment", x = 0, xend = 3, y = 2, yend = 2,
           arrow = arrow(length = unit(0.2, "inches")), color = "darkgreen", linewidth = 1) +
  annotate("text", x = 3.1, y = 2, label = expression(x[1] ~ ": 0 → t -" ~ x[2]), color = "darkgreen", hjust = 0) +
  
  #Dibuja puntos
  annotate("point", x = 0, y = 2, size = 3, color = "black") +
  annotate("point", x = 3, y = t - 3, size = 3, color = "black") +
  
  annotate("text", x = -0.3, y = 2, label = "A", color = "black", fontface = "bold") +
  annotate("text", x = 3.2, y = t - 3 + 0.3, label = "B", color = "black", fontface = "bold") +
  
  
  annotate("text", x = t + 0.3, y = 0, label = "t", parse = TRUE, hjust = 0, fontface = "bold") +
  annotate("text", x = 0, y = t + 0.3, label = "t", parse = TRUE, vjust = 0, fontface = "bold") +
  
  coord_fixed() +
  labs(title = "Cambio de orden de integración",
       x = expression(X[1]), y = expression(X[2])) +
  theme_minimal()

En este caso, se fijo \(x_{2}\) y \(t \geq 0\) se pudo obtener los límites de integración (línea verde). Los puntos observados en la gráfica son los siguientes:

\[ Puntos \newline A: x_{1} = 0 \newline B: x_{1} = t - x_{2} \]

Luego, la integral queda de la siguiente manera:

\[ F_{X}(t) = P(X_{1} + X_{2} \leq t) = \int{\int_{I}f(x_{1}, x_{2}) dx_{1}dx_{2}} = \int_{0}^{t}{\int_{0}^{t - x_{2}} \lambda^{2} e^{-\lambda(x_{1} + x_{2})} dx_{1}dx_{2}} = \int_{0}^{t} \lambda^2 e^{-\lambda x_2}\!\left(\int_{0}^{t-x_2} e^{-\lambda x_1}\,dx_1\right) dx_2 \]


Después, resolviendo la integral respecto a \(x_1\):

\[ \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \int_{0}^{t-x_2} e^{-\lambda x_1}\,dx_1 = \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x_{1}} \right]_{x_{1}=0}^{x_{1}=t-x_{2}} = \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \left(- \frac{1}{\lambda}e^{-\lambda t + \lambda x_{2}} + \frac{1}{\lambda} \right) = - \lambda e^{- \lambda t} + \lambda e ^ {- \lambda x_{2}} \]


Integrando respecto a \(x_{2}\):

\[ \begin{aligned} F_X(t) &= \int_{0}^{t} [- \lambda e^{- \lambda t} + \lambda e ^ {- \lambda x_{2}}] \; dx_{2} = \int_{0}^{t} - \lambda e^{- \lambda t} \; dx_{2} + \int_{0}^{t} \lambda e ^ {- \lambda x_{2}} \; dx_{2} \end{aligned} \]


Resolviendo la primera integral:

\[ \int_{0}^{t} - \lambda e^{- \lambda t} \; dx_{2} = - \lambda e^{- \lambda t}x_{2} \; \Big|_0^t = - \lambda t e^{- \lambda t} \]


Ahora, la segunda integral:

\[ \int_{0}^{t} \lambda e ^ {- \lambda x_{2}} \; dx_{2} = - e ^ {- \lambda x_{2}} \; \Big|_0^t = - e ^ {- \lambda t} + 1 \]


Sumando ambos resultados:

\[ - \lambda t e^{- \lambda t} + (- e^{- \lambda t} + 1) = \fbox{$1 - e^{- \lambda t} - \lambda t e^{- \lambda t}$} \]