Integrar: \(\lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)}\) sobre la región triangular
Región: \(\{(x_1,x_2) : x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, x_1 + x_2 \leq t\}\)
Función: \(f(x_1,x_2) = \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)}\)
\[\int_0^t \int_0^{t-x_1} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)} \, dx_2 \, dx_1\]
\[\int_0^{t-x_1} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)} \, dx_2\]
Factorizamos lo que no depende de \(x_2\):
\[= \lambda^2 e^{-\lambda x_1} \int_0^{t-x_1} e^{-\lambda x_2} \, dx_2\]
Calculamos \(\int e^{-\lambda x_2} \, dx_2\):
\[\int e^{-\lambda x_2} \, dx_2 = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x_2} + C\]
Evaluamos en los límites \([0, t-x_1]\):
\[= \lambda^2 e^{-\lambda x_1} \cdot \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x_2}\right]_0^{t-x_1}\]
\[= \lambda^2 e^{-\lambda x_1} \cdot \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda(t-x_1)} - \left(-\frac{1}{\lambda} e^{0}\right)\right]\]
\[= \lambda^2 e^{-\lambda x_1} \cdot \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda(t-x_1)} + \frac{1}{\lambda}\right]\]
\[= \lambda^2 e^{-\lambda x_1} \cdot \frac{1}{\lambda} \left[1 - e^{-\lambda(t-x_1)}\right]\]
\[= \lambda e^{-\lambda x_1} \left[1 - e^{-\lambda(t-x_1)}\right]\]
Simplificamos \(e^{-\lambda(t-x_1)}\):
\[e^{-\lambda(t-x_1)} = e^{-\lambda t + \lambda x_1} = e^{-\lambda t} e^{\lambda x_1}\]
Sustituyendo:
\[= \lambda e^{-\lambda x_1} \left[1 - e^{-\lambda t} e^{\lambda x_1}\right]\]
\[= \lambda e^{-\lambda x_1} - \lambda e^{-\lambda x_1} e^{-\lambda t} e^{\lambda x_1}\]
\[= \lambda e^{-\lambda x_1} - \lambda e^{-\lambda t}\]
Resultado del Paso 1: \[\int_0^{t-x_1} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)} \, dx_2 = \lambda e^{-\lambda x_1} - \lambda e^{-\lambda t}\]
\[\int_0^t \left[\lambda e^{-\lambda x_1} - \lambda e^{-\lambda t}\right] dx_1\]
Separamos la integral:
\[= \int_0^t \lambda e^{-\lambda x_1} \, dx_1 - \int_0^t \lambda e^{-\lambda t} \, dx_1\]
Primera integral: \(\int_0^t \lambda e^{-\lambda x_1} \, dx_1\)
\[\int \lambda e^{-\lambda x_1} \, dx_1 = \lambda \cdot \left(-\frac{1}{\lambda}\right) e^{-\lambda x_1} = -e^{-\lambda x_1}\]
Evaluando en \([0,t]\): \[\left[-e^{-\lambda x_1}\right]_0^t = -e^{-\lambda t} - (-e^{0}) = -e^{-\lambda t} + 1\]
Segunda integral: \(\int_0^t \lambda e^{-\lambda t} \, dx_1\)
Como \(e^{-\lambda t}\) es constante respecto a \(x_1\):
\[= \lambda e^{-\lambda t} \int_0^t dx_1 = \lambda e^{-\lambda t} \cdot t\]
Combinando ambos resultados:
\[= [1 - e^{-\lambda t}] - \lambda t e^{-\lambda t}\]
\[= 1 - e^{-\lambda t} - \lambda t e^{-\lambda t}\]
\[= 1 - e^{-\lambda t}(1 + \lambda t)\]
RESULTADO OPCIÓN 1: \[\int_0^t \int_0^{t-x_1} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)} \, dx_2 \, dx_1 = 1 - e^{-\lambda t}(1 + \lambda t)\]
\[\int_0^t \int_0^{t-x_2} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)} \, dx_1 \, dx_2\]
\[\int_0^{t-x_2} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)} \, dx_1\]
Factorizamos lo que no depende de \(x_1\):
\[= \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \int_0^{t-x_2} e^{-\lambda x_1} \, dx_1\]
Calculamos \(\int e^{-\lambda x_1} \, dx_1\):
\[\int e^{-\lambda x_1} \, dx_1 = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x_1} + C\]
Evaluamos en los límites \([0, t-x_2]\):
\[= \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \cdot \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x_1}\right]_0^{t-x_2}\]
\[= \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \cdot \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda(t-x_2)} - \left(-\frac{1}{\lambda} e^{0}\right)\right]\]
\[= \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \cdot \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda(t-x_2)} + \frac{1}{\lambda}\right]\]
\[= \lambda^2 e^{-\lambda x_2} \cdot \frac{1}{\lambda} \left[1 - e^{-\lambda(t-x_2)}\right]\]
\[= \lambda e^{-\lambda x_2} \left[1 - e^{-\lambda(t-x_2)}\right]\]
Simplificamos \(e^{-\lambda(t-x_2)}\):
\[e^{-\lambda(t-x_2)} = e^{-\lambda t + \lambda x_2} = e^{-\lambda t} e^{\lambda x_2}\]
Sustituyendo:
\[= \lambda e^{-\lambda x_2} \left[1 - e^{-\lambda t} e^{\lambda x_2}\right]\]
\[= \lambda e^{-\lambda x_2} - \lambda e^{-\lambda x_2} e^{-\lambda t} e^{\lambda x_2}\]
\[= \lambda e^{-\lambda x_2} - \lambda e^{-\lambda t}\]
Resultado del Paso 1: \[\int_0^{t-x_2} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)} \, dx_1 = \lambda e^{-\lambda x_2} - \lambda e^{-\lambda t}\]
\[\int_0^t \left[\lambda e^{-\lambda x_2} - \lambda e^{-\lambda t}\right] dx_2\]
Separamos la integral:
\[= \int_0^t \lambda e^{-\lambda x_2} \, dx_2 - \int_0^t \lambda e^{-\lambda t} \, dx_2\]
Primera integral: \(\int_0^t \lambda e^{-\lambda x_2} \, dx_2\)
\[\int \lambda e^{-\lambda x_2} \, dx_2 = \lambda \cdot \left(-\frac{1}{\lambda}\right) e^{-\lambda x_2} = -e^{-\lambda x_2}\]
Evaluando en \([0,t]\): \[\left[-e^{-\lambda x_2}\right]_0^t = -e^{-\lambda t} - (-e^{0}) = -e^{-\lambda t} + 1\]
Segunda integral: \(\int_0^t \lambda e^{-\lambda t} \, dx_2\)
Como \(e^{-\lambda t}\) es constante respecto a \(x_2\):
\[= \lambda e^{-\lambda t} \int_0^t dx_2 = \lambda e^{-\lambda t} \cdot t\]
Combinando ambos resultados:
\[= [1 - e^{-\lambda t}] - \lambda t e^{-\lambda t}\]
\[= 1 - e^{-\lambda t} - \lambda t e^{-\lambda t}\]
\[= 1 - e^{-\lambda t}(1 + \lambda t)\]
RESULTADO OPCIÓN 2: \[\int_0^t \int_0^{t-x_2} \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)} \, dx_1 \, dx_2 = 1 - e^{-\lambda t}(1 + \lambda t)\]
AMBOS MÉTODOS CONVERGEN AL MISMO RESULTADO:
\[\iint \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)} \, dA = 1 - e^{-\lambda t}(1 + \lambda t)\]
Esto confirma el Teorema de Fubini: el orden de integración no afecta el resultado.
EXPRESIÓN FINAL: \[\boxed{\iint \lambda^2 e^{-\lambda(x_1+x_2)} \, dA = 1 - (1 + \lambda t)e^{-\lambda t}}\]