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| Época / Fecha | Hito Principal |
|---|---|
| 20 000 a.C. | Hueso de Ishango: primeras marcas de conteo. |
| 3000 a.C. | Mesopotamia y Egipto: sistemas numéricos, impuestos y construcción de pirámides. |
| 600 a.C. | Grecia: fundamentos teóricos (Pitágoras, Euclides). |
| 500 d.C. | India y Mundo Árabe: sistema decimal y concepto de cero. |
| Edad Media | Monasterios conservan saber; Bagdad y Córdoba difunden matemáticas. |
| Siglo XVI | Renacimiento: imprenta y difusión del conocimiento. |
| Siglo XVII | Revolución Científica: Galileo y Newton aplican matemáticas a la física. |
| Siglo XVIII | Estadística y probabilidad aplicadas (seguros, demografía). |
| Siglo XIX | Revolución Industrial: optimización de procesos, producción y transporte. |
| Siglo XX | Matemáticas aplicadas a ingeniería, economía y ciencias sociales. |
| Siglo XXI | Big Data, Inteligencia Artificial, criptografía, modelación de pandemias. |
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| Área | Ejemplo de Aplicación |
|---|---|
| Arquitectura | Conmutativa (Suma): \(5 +
8 = 8 + 5\) → 5 bloques más 8 bloques = 13 bloques, sin importar
el orden. Distributiva: \(2 \times (3 + 4) = (2 \times 3) + (2 \times 4)\) → 2 pisos con salas de 3 m y 4 m equivalen a 14 m en total. |
| Diseño | Asociativa (Suma): \((2 +
5) + 3 = 2 + (5 + 3)\) → La combinación de colores RGB puede
hacerse en distinto orden, dando el mismo resultado. Elemento neutro: \(C + 0 = C\) → Una imagen conserva su color si no se altera el canal. |
| Contaduría Pública | Conmutativa (Suma): \(Ingresos + Egresos = Egresos + Ingresos\) →
el balance no cambia. Inverso: \(1000 + (-1000) = 0\) → Cancelar una deuda con su pago correspondiente. |
| Derecho | Distributiva: \(200
\times (3 + 4) = (200 \times 3) + (200 \times 4)\) → Una multa de
\(200\) aplicada a 7 acusados equivale
a la suma individual. Cierre: \(12 + 6 = 18\) meses de condena, siempre otro número real válido. |
| Psicología | Elemento neutro: \(9 + 0
= 9\) → Un puntaje en una escala psicológica no cambia al sumar
cero. Inverso: \(7 + (-7) = 0\) → Un estado de ansiedad puede compensarse con técnicas de relajación. |
| Ciencia Política y Relaciones Internacionales | Asociativa: \((A + B) + C
= A + (B + C)\) → La unión de países en tratados multilaterales
no depende del orden. Conmutativa: \(Sanción + Negociación = Negociación + Sanción\) → el resultado final del proceso político es equivalente. |
| Marketing y Transformación Digital | Distributiva: \(2 \times
(3 + 4) = (2 \times 3) + (2 \times 4)\) → 2 redes sociales con 7
tipos de anuncios en total. Cierre: \(500 + 200 = 700\) → Un presupuesto ampliado sigue siendo un número real. |
| Comunicación Social | Conmutativa (Suma): \(Entrevista + Reportaje = Reportaje +
Entrevista\) → La información final no depende del orden. Elemento neutro: \(Noticia + 0 = Noticia\) → Una noticia no cambia si no se le agregan fuentes nuevas. |
Perfecto Julio 🙌. Ampliemos tu tabla con más ejemplos variados,
rigurosos y conectados a contextos reales de cada disciplina.
Así los estudiantes ven cómo las propiedades de los números reales
aparecen en problemas prácticos.
| Área | Ejemplo de Aplicación |
|---|---|
| Arquitectura 🏛️ | Conmutativa (Suma): \(5 +
8 = 8 + 5\) → 5 bloques más 8 bloques = 13 bloques, sin importar
el orden. Distributiva: \(2 \times (3 + 4) = (2 \times 3) + (2 \times 4)\) → 2 pisos con salas de 3 m y 4 m equivalen a 14 m en total. Asociativa: \((10 + 15) + 20 = 10 + (15 + 20)\) → Repartir longitudes de vigas da el mismo resultado aunque se agrupe distinto. Cierre: Si una pared mide \(3.5 + 2.7 = 6.2\) m, el resultado sigue siendo una medida válida de la misma magnitud. |
| Diseño 🎨 | Asociativa (Suma): \((2 +
5) + 3 = 2 + (5 + 3)\) → La combinación de colores RGB puede
hacerse en distinto orden, dando el mismo resultado. Elemento neutro: \(C + 0 = C\) → Una imagen conserva su color si no se altera el canal. Conmutativa (Multiplicación): \(px \times cm = cm \times px\) → Al escalar una figura, da igual si primero se ajusta en píxeles o en centímetros. Inverso: \(+50\) de saturación y \(-50\) de saturación devuelven la imagen a su estado original. |
| Contaduría Pública 📊 | Conmutativa (Suma): \(Ingresos + Egresos = Egresos + Ingresos\) →
el balance no cambia. Inverso: \(1000 + (-1000) = 0\) → Cancelar una deuda con su pago correspondiente. Elemento neutro: \(Capital + 0 = Capital\) → Un activo no se altera si no hay operaciones en el período. Distributiva: \(IVA \times (VentaA + VentaB) = IVA \times VentaA + IVA \times VentaB\) → El impuesto se reparte proporcionalmente en cada venta. |
| Derecho ⚖️ | Distributiva: \(200
\times (3 + 4) = (200 \times 3) + (200 \times 4)\) → Una multa de
\(200\) aplicada a 7 acusados equivale
a la suma individual. Cierre: \(12 + 6 = 18\) meses de condena, siempre otro número real válido. Conmutativa: \(Delito + Prueba = Prueba + Delito\) → El juicio considera los mismos elementos, sin importar el orden en que se presentan. Inverso: Una sanción puede ser reducida con un indulto que compense el castigo. |
| Psicología 🧠 | Elemento neutro: \(9 + 0
= 9\) → Un puntaje en una escala psicológica no cambia al sumar
cero. Inverso: \(7 + (-7) = 0\) → Un estado de ansiedad puede compensarse con técnicas de relajación. Conmutativa: \(Test A + Test B = Test B + Test A\) → La suma de puntajes de dos pruebas no depende del orden en que se apliquen. Asociativa: \((4 + 6) + 5 = 4 + (6 + 5)\) → Agrupar respuestas de cuestionarios da el mismo resultado. |
| Ciencia Política y Relaciones Internacionales 🌍 | Asociativa: \((A + B) + C
= A + (B + C)\) → La unión de países en tratados multilaterales
no depende del orden. Conmutativa: \(Sanción + Negociación = Negociación + Sanción\) → El resultado final del proceso político es equivalente. Distributiva: \(2 \times (3 + 5) = (2 \times 3) + (2 \times 5)\) → Dos países firmando acuerdos con 8 cláusulas pueden dividir las responsabilidades en partes. Cierre: Una ley aprobada más una reforma produce otra ley válida. |
| Marketing y Transformación Digital 📱 | Distributiva: \(2 \times
(3 + 4) = (2 \times 3) + (2 \times 4)\) → 2 redes sociales con 7
tipos de anuncios en total. Cierre: \(500 + 200 = 700\) → Un presupuesto ampliado sigue siendo un número real. Asociativa: \((10 + 20) + 30 = 10 + (20 + 30)\) → La inversión en campañas puede agruparse de diferentes maneras sin alterar el total. Inverso: Un aumento del 15% seguido de una disminución del 15% no devuelve al valor inicial (discusión sobre límites de la propiedad). |
| Comunicación Social 📰 | Conmutativa (Suma): \(Entrevista + Reportaje = Reportaje +
Entrevista\) → La información final no depende del orden. Elemento neutro: \(Noticia + 0 = Noticia\) → Una noticia no cambia si no se le agregan fuentes nuevas. Distributiva: \(2 \times (Titular + Imagen) = (2 \times Titular) + (2 \times Imagen)\) → Una nota duplicada mantiene los elementos clave repetidos. Inverso: Una corrección periodística resta un error previamente sumado en la versión inicial. |
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Ejemplos (docente):
Ejercicios (estudiantes):
Ejemplos (docente):
Ejercicios (estudiantes):
Ejemplos (docente):
Un juez debe determinar la jerarquía de las penas para diferentes delitos. La ley establece lo siguiente:
Ejercicio: a) Escribe tres desigualdades usando el
símbolo > que representen la relación entre estas
penas.
Tres empresas reportan sus ganancias anuales (en millones de dólares): * Empresa X: $50
Empresa Y: $40
Empresa Z: $35
Un nuevo impuesto flat (único y igual para todos) de +$5 millones es decretado para el próximo año.
Ejercicio: a) Antes del impuesto, escribe la desigualdad que compara a la Empresa X con la Y.
Aplica la propiedad aditiva sumando el valor del impuesto ($+5$) a ambos lados de la desigualdad. ¿Cuál es la nueva desigualdad?
¿Se mantuvo la relación de orden? ¿Qué implica esto para la competitividad relativa de las empresas después del impuesto?
Dos productos tienen diferentes precios de venta y diferentes volúmenes de ventas mensuales:
Producto A: Precio = $100, Ventas = 200 unidades.
Producto B: Precio = $80, Ventas = 250 unidades.
La empresa decide aplicar un aumento de precio general del
20% (c = 1.20) a toda su línea.
Ejercicio: a) Antes del aumento, ¿qué producto genera más ingresos? Calcula (Precio × Ventas) para cada uno.
Aplica la propiedad multiplicativa
(c = 1.20) a los precios de ambos productos.
Con los nuevos precios, verifica si el producto que más ingresos generaba sigue siendo el mismo. ¿Se cumplió la propiedad? Explica por qué sí o por qué no.
Un psicólogo utiliza un test donde un puntaje más alto indica mayor ansiedad. Dos pacientes obtienen:
Paciente 1: Puntaje 80
Paciente 2: Puntaje 60
Por lo tanto, 80 > 60 (el Paciente 1 tiene mayor
ansiedad).
Para una nueva escala de “bienestar”, el psicólogo necesita
invertir los puntajes. Decide multiplicar todos los
resultados por c = -1.
Ejercicio:
Aplica la propiedad multiplicativa
(c = -1) a los puntajes originales.
En la nueva escala de “bienestar”, ¿qué paciente tiene un puntaje mayor? ¿Qué significa esto ahora (a mayor puntaje, mayor bienestar o menor bienestar)?
Explica cómo la multiplicación por un número negativo cambió la interpretación del orden, reflejando exactamente lo que dice la propiedad.
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Ejercicio: Si añadimos a María con 6.9, ¿cómo cambia
el orden?
\[ (8.2 - 5.6) ÷ 3 =\]
Respuesta:
Constitución > Tratados > Leyes
\(+1/5\) por agravantes
\(-0.3\) por atenuantes
Operación: \[10 + (10 × 1/5) - 0.3 =\]
150cm > 125cm
2.618 ÷ 1.618 ≈ 1.618 (φ)
300cm > 250cm → Se mantiene el orden pero con
valores absolutos mayores
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### Los números enteros (ℤ) son
aquellos que no tienen parte decimal o fraccionaria.
Incluyen:
1. Cambio de temperatura
En la madrugada hacían -3°C y al mediodía subió a 12°C. ¿Cuántos
grados aumentó?
12 - (-3) =
Nivel del mar]{style=“color:brown”}**
Un submarino estaba a -120 m, luego ascendió 45 m. ¿A qué
profundidad quedó?
-120 + 45 =
Deudas y pagos]{style=“color:brown”}**
Carlos debía $75, pagó $30 y luego gastó $20 más. ¿Cuál es su saldo
actual?
-75 + 30 - 20 =
Balance bancario
Ana tenía $500, retiró $200, depositó $350 y pagó un recibo de $150.
¿Cuánto tiene ahora?
500 - 200 + 350 - 150 =
Ganancias
mensuales]{style=“color:brown”}**
Una tienda ganó $1,200 en enero, perdió $300 en febrero y ganó $800
en marzo. ¿Balance trimestral?
1,200 - 300 + 800 =
Altitud y profundidad
Un pájaro vuela a 150 m sobre el mar y un pez está a -40 m.
¿Diferencia de altura?
150 - (-40) =
Variación térmica]{style=“color:brown”}**
De día la temperatura fue de 18°C y de noche bajó a -5°C. ¿Amplitud
térmica?
18 - (-5) =
Inventario de materiales
Habían 300 ladrillos, se usaron 175 y llegó un nuevo pedido de 200.
¿Cuántos hay ahora?
300 - 175 + 200 =
Control de peso]{style=“color:brown”}**
Un elevador soporta 500 kg. Lleva 3 paquetes: +120 kg, -25 kg (uno
se bajó) y +80 kg. ¿Sobrepasa?
120 - 25 + 80 =
Proyecto de
construcción]{style=“color:brown”}**
Se excavó hasta -15 m, luego se rellenó +8 m. ¿Profundidad
final?
-15 + 8 =
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Fracción como división
Si 5 amigos compran 2 pizzas iguales para repartir
equitativamente, ¿qué fracción le corresponde a cada uno?
Reducción de ingredientes
Tienes una receta para 8 personas (1/2 kg de carne), pero solo
cocinarás para 2. ¿Cuánta carne usarás?
Encuesta escolar
3/5 de 200 estudiantes prefieren matemáticas. ¿Cuántos
estudiantes son?
Rendimiento deportivo
Un basquetbolista anotó 5/8 de sus 24 tiros. ¿Cuántos
encestó?
Herencia familiar
Un terreno de 12 hectáreas se reparte así: 1/3 para Ana, 1/4 para
Luis y el resto para Carlos. ¿Cuánto recibe Carlos?
Distribución de materiales
Tienes 5/6 de una tabla de madera y usas 1/3 para un proyecto.
¿Qué fracción sobra?
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Tema: Clase N°2 – Propiedades de los Números Reales Valor total: 10 puntos (1 punto cada pregunta)
El cero fue una invención revolucionaria porque permitió:
Evitar errores en sumas y restas
Representar ausencia de cantidad y construir sistemas posicionales
Multiplicar números negativos
Resolver ecuaciones de segundo grado
Explica en máximo 5 líneas la diferencia entre la propiedad conmutativa y la asociativa. Da un ejemplo de cada una.
En el cálculo moderno, los números negativos permitieron:
Representar deudas, temperaturas bajo cero y descensos de nivel
Simplificar fracciones
Evitar operaciones con raíces cuadradas
Eliminar el uso de números decimales
Indica qué propiedad se cumple en cada caso y explica por qué:
\((8 + 3) + 7 = 8 + (3 + 7)\)
\(6 \times 1 = 6\)
\(5 + (-5) = 0\)
Un arquitecto multiplica el número de ventanas de un edificio: cada piso tiene (2 + 3) ventanas, y hay 4 pisos en total.
Plantea la expresión matemática.
Usa la propiedad distributiva para simplificar el cálculo.
Indica cuántas ventanas tiene el edificio.
Un ingeniero eléctrico multiplica una resistencia total:
\[ R = (5 + 7) \times 3 \]
Reescribe la expresión aplicando la distributiva, calcula el resultado y explica qué propiedad permitió reorganizar la operación.
Un contador registra una deuda de $10,000 y el pago de la misma cantidad. Representa matemáticamente la situación y explica qué propiedad de los números reales se ilustra.
En una escala de estrés de 0 a 50, un paciente obtiene un puntaje de 35. Si se suma 0 al puntaje, ¿qué propiedad se aplica? Explica la importancia de este resultado en términos de estabilidad de la medición.
Un estudiante de Finanzas necesita demostrar la propiedad distributiva en el caso:
\[ (a + b) \times (c + d) \]
📌 Criterios de calificación:
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Contexto: Una organización tiene $150,000 para distribuir:
1/3 a alimentos
1/5 a transporte
El resto a servicios
Pregunta: ¿Cuánto va a servicios?
Operación:
150,000 - [(150,000 × 1/3) + (150,000 × 1/5)] =
Contexto: En unas elecciones, 3/4 de los votantes asistieron.
Pregunta: ¿Qué decimal representa la participación?
Operación: 3 ÷ 4 =
Contexto: Una cooperativa tiene 200 hectáreas para 4 familias.
Pregunta: ¿Cuántas hectáreas recibe cada familia?
Operación: 200 ÷ 4 =
Contexto: 5 amigos pagan una cuenta de $25.50.
Pregunta: ¿Cuánto paga cada uno?
Operación: 25.50 ÷ 5 =
Contexto: Un agricultor vende 2/5 de sus 350 kg de maíz.
Pregunta: ¿Cuántos kg le quedan?
Operación: 350 - (350 × 2/5) =
Contexto: Una carrera de 4.25 km, un corredor lleva 1.5 km.
Pregunta: ¿Cuánto le falta?
Operación: 4.25 - 1.5 =
Contexto: Se necesitan 2 1/2 tazas de harina, pero solo hay 1 3/4.
Pregunta: ¿Cuánta harina falta?
Operación: 2 1/2 - 1 3/4 =
(Convertir a fracciones impropias)
Contexto: En una tienda había 480 latas, vendieron 125 y luego 80.
Pregunta: ¿Cuántas quedan?
Operación: 480 - 125 - 80 =
Contexto: Un empleado gana $12.50/hora y trabaja 8 horas/día.
Pregunta: ¿Salario diario?
Operación: 12.50 × 8 =
Contexto: El precio por litro de jugo es $1.80.
Pregunta: ¿Costo de 4 litros?
Operación: 1.80 × 4 =
🎯 Propósito del taller: Desarrollar en equipo la capacidad de identificar, aplicar y justificar las propiedades de los números reales, relacionándolas con ejemplos cotidianos, históricos y profesionales.
Lean la línea de tiempo de la evolución matemática.
Cada pareja debe identificar la propiedad que se aplica en los siguientes contextos y justificar su elección:
Resuelvan en pareja los siguientes:
En cada caso, expliquen en dos frases cómo aparece la propiedad matemática:
| Parte | Actividad | Puntaje |
|---|---|---|
| 1 | Mapa conceptual y reflexión crítica | 2 pts |
| 2 | Identificación de propiedades en contextos reales | 3 pts |
| 3 | Ejercicios numéricos guiados | 3 pts |
| 4 | Aplicaciones profesionales | 2 pts |
| Total | 10 pts |
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Tipo de cambio real
Si el dólar sube un 5% frente al peso (de $3,800 a $3,990), ¿cuál es el
nuevo tipo de cambio?
Rentabilidad de inversión
Un fondo internacional rindió 12% en un año. Si se invirtieron $50,000
USD, ¿cuál es la ganancia?
Aranceles de importación
Un producto chino con valor FOB de $10,000 paga 18% de arancel en
Colombia. ¿Cuánto se debe pagar?
Devaluación monetaria
Si el euro pierde un 8% de su valor frente al yen, ¿cuántos yen
recibirás por 1,000 euros si antes eran 130 yen/euro?
Cobertura de riesgo cambiario
Una empresa cubre el 70% de su exposición a divisas (USD 2M). ¿Qué monto
está cubierto?
Cálculo de IVA
Una factura por $15,000,000 tiene 19% de IVA. ¿Cuánto es el
impuesto?
Depreciación de activos
Un equipo de $80,000,000 se deprecia 20% anual. ¿Cuál es su valor
después de 1 año?
Retención en la fuente
Un contrato de $25,000,000 tiene 11% de retención. ¿Cuánto recibe el
proveedor?
Margen de utilidad
Si los ingresos son $500M y los costos $350M, ¿cuál es el margen de
utilidad?
Provisiones contables
Se debe provisionar el 5% de $200,000,000 en cuentas incobrables.
¿Cuánto es?
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Tasa de conversión
Un e-commerce recibe 50,000 visitas y 2,500 ventas. ¿Cuál es la tasa de
conversión?
ROI de campaña digital
Una campaña con costo de $8M generó $24M en ventas. ¿Cuál es el
retorno?
Crecimiento de tráfico orgánico
Un sitio pasó de 100,000 a 150,000 visitas/mes. ¿Qué porcentaje
aumentó?
CTR (Click-Through Rate)
Un anuncio tuvo 1,200 clics en 30,000 impresiones. ¿Cuál es el
CTR?
Customer Acquisition Cost (CAC)
Se gastaron $50,000 en ads para adquirir 500 clientes. ¿Cuál es el
CAC?
Solución: 50,000 × (1.10 × 1.06) = $58,300 USDSolución: ((1,200 - 800)/1,200) × 100 = 33.33%📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊📊 🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯🎯
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Una potencia es una multiplicación repetida de un número llamado base.
Se escribe como \(a^n\), donde:
Ejemplos:
Propiedades:
La raíz es la operación inversa de la potencia.
La raíz \(n\)-ésima de un número \(a\) es el valor que, elevado a \(n\), da como resultado \(a\).
Se escribe: \(\sqrt[n]{a}\). \[ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \]
Ejemplos:
Cuando hay varias operaciones en una misma expresión, se deben resolver en un orden establecido:
Ejemplo:
\[ 5 + 2 × (3^2 – 1) = 5 + 2 × (9 – 1) = 5 + 2 × 8 = 5 + 16 = 21 \]
Se usa para representar números muy grandes o muy pequeños en la forma:
\[ a × 10^n \]
donde \(1 ≤ a < 10\) y \(n\) es un número entero.
\[ N = a \times 10^n, \quad 1 \leq |a| < 10, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Ejemplos:
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Problema: Distribuir recursos limitados (ej. agua, alimentos, medicinas) en una comunidad después de un desastre natural.
Estrategia:
Problema: Diseñar la forma y materiales de un auditorio para que la claridad del sonido (\(C_{80}\)) sea óptima en todos los asientos.
Datos Relevantes: Coeficiente de absorción de materiales (\(\alpha\)), volumen del espacio (\(V\)), tiempo de reverberación deseado (Ecuación de Sabine: \(T_{60} = \frac{0.161 \cdot V}{A}\)), donde \(A\) es la absorción total.
Estrategia en Grupo: Arquitectos, ingenieros acústicos y diseñadores colaboran. Modelan el espacio en software de simulación (como Odeon), prueban iterativamente diferentes formas (geométricas vs. orgánicas) y materiales, y evalúan los resultados numéricos de \(T_{60}\) y \(C_{80}\) para tomar decisiones.
Problema: Determinar la viga adecuada para un vano grande que soporte una carga específica sin deflectar (flexionarse) más de lo permitido.
Datos Relevantes: Carga distribuida (\(q\) en \(kN/m\)), longitud del vano (\(L\) en \(m\)), módulo elástico del material (\(E\) en \(GPa\)), momento de inercia de la sección (\(I\) en \(m^4\)).
Estrategia Individual/Grupal: Aplicar la fórmula de deflexión máxima para una viga simplemente apoyada: \(\delta_{max} = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I}\). Se identifican \(q\) y \(L\) del problema, se elige un material (\(E\)) y se calcula el \(I\) mínimo necesario para que \(\delta_{max} \leq \delta_{permisible}\).
Problema: Diseñar la planta de un hospital para minimizar las distancias de traslado de personal y pacientes entre áreas críticas (quirófanos, UCIs, laboratorios).
Datos Relevantes: Flujos de personas y materiales entre departamentos (\(F_{ij}\)), distancias potenciales entre ubicaciones (\(D_{ij}\)).
Estrategia en Grupo: Usar un modelo de programación lineal. Minimizar la función \(Z = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} F_{ij} \cdot D_{ij}\), sujeto a restricciones de espacio y adjacencias (ej. la morgue no puede estar junto a pediatría). El equipo debate la matriz de flujos y las restricciones prioritarias.
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Problema: Decidir entre dos propuestas de logo para una marca nueva.
Datos Relevantes: Tasa de clics (CTR), recordación a 24h, asociaciones positivas/negativas, preferencia declarada en grupos focales.
Estrategia en Grupo: Diseñadores, marketers y UX researchers exponen las opciones a dos grupos muestrales equivalentes. Miden estadísticamente qué logo performa mejor en las métricas clave. La decisión final se toma en consenso basado en datos, no solo en gusto personal.
Problema: Aplicar proporciones armónicas para la diagramación de una revista.
Datos Relevantes: Ancho total del área de impresión (\(A\)), proporción áurea (\(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618\)).
Estrategia: Dividir el espacio según \(\phi\). Si el ancho es \(A\), la columna principal de texto tendrá un ancho de \(\frac{A}{\phi}\). El resto del espacio se usa para columnas secundarias, imágenes o márgenes. Esto se repite para jerarquizar elementos dentro de la propia columna.
Problema: Rediseñar un empaque para reducir costos e impacto ambiental manteniendo la resistencia.
Datos Relevantes: Resistencia a la compresión del material actual y alternativo (\(R\) en \(kPa\)), costo por unidad (\(C\)), huella de carbono (\(HC\) en \(kgCO_2\)), espesor necesario (\(e\)).
Estrategia en Grupo: Diseñadores e ingenieros prueban materiales (ej., cartón ondulado de diferente canal). Modelan la resistencia que debe tener el empaque: \(R_{requerida} \leq k \cdot E \cdot e^3\) (simplificado). Crean una matriz decisión con pesos para \(C\), \(HC\) y \(R\) para elegir la mejor opción.
Aplicación 1: Modelado de Punto de Equilibrio
Problema: Determinar cuántas unidades de un producto nuevo must venderse para comenzar a generar utilidades.
Datos Relevantes: Costos fijos (\(CF\): alquiler, salarios), costos variables por unidad (\(CV\): materiales, mano de obra), precio de venta por unidad (\(P\)).
Estrategia: Plantear la ecuación del punto de equilibrio donde Ingresos = Costos Totales. \(P \cdot Q = CF + (CV \cdot Q)\). Despejar \(Q\): \(Q = \frac{CF}{P - CV}\). El denominador \((P - CV)\) es el margen de contribución unitario.
Aplicación 2: Asignación Óptima de Turnos
Problema: Crear los horarios de los empleados de retail para cubrir la demanda de clientes minimizando el costo laboral.
Datos Relevantes: Previsión de clientes por hora, horas laborales por empleado, costos de horas normales y extras, restricciones legales.
Estrategia en Grupo: Usar un modelo de programación lineal entera. Minimizar \(Costo = \sum (C_h \cdot H_h) + (C_e \cdot H_e)\), sujeto a: \(\sum Empleados_t \geq Demanda_t\) para cada hora \(t\), y \(H_h \leq 8\) por día (ejemplo). Los gerentes de área ayudan a definir las restricciones prácticas.
Aplicación 3: Análisis FODA Cuantitativo
Problema: Priorizar estratégicamente las iniciativas de la empresa para el próximo año.
Datos Relevantes: Evaluación numérica de Fortalezas, Oportunidades, Debilidades y Amenazas (ej., escala del 1 al 5), impacto potencial, probabilidad de ocurrencia.
Estrategia en Grupo: El equipo directivo realiza una matriz FODA. Luego, puede usar una Matriz de Eisenhower cruzando Impacto vs. Esfuerzo, o calcular una Puntuación Estratégica: \(PS = (F + O - D - A) \times Impacto \times Probabilidad\). Se debate y consensúa la puntuación de cada factor.
Aplicación 1: Cálculo de Valor Presente Neto (VPN) para Inversión Extranjera
Problema: Decidir si abrir una planta manufacturera en otro país es financieramente viable.
Datos Relevantes: Inversión inicial (\(I_0\)), flujos de caja futuros estimados (\(F_t\)), tasa de descuento ajustada por riesgo país (\(r\)), vida útil del proyecto (\(n\)).
Estrategia: Calcular el VPN. \(VPN = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{F_t}{(1 + r)^t}\). Si \(VPN > 0\), el proyecto crea valor. La discusión grupal se centra en estimar \(F_t\) realistas y la tasa \(r\) adecuada.
Aplicación 2: Cobertura Cambiaria (Hedging)
Problema: Una empresa importadora debe pagar $1 millón de USD en 90 días. ¿Cómo protegerse de una devaluación de la moneda local?
Datos Relevantes: Tipo de cambio spot (\(S\)), tipo de cambio a futuro (\(F\)), costo de opciones call (\(C\)), volatilidad esperada del tipo de cambio (\(\sigma\)).
Estrategia en Grupo: Los tesoreros y analistas de riesgo evalúan estrategias:
Aplicación 3: Análisis de Riesgo-País
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Problema: Auditar una cuenta con miles de transacciones (ej. gastos de viáticos) de manera eficiente.
Datos Relevantes: Tamaño de la población (\(N\)), error tolerable, nivel de confianza deseado (e.g., 95%), desviación estándar esperada.
Estrategia: Calcular el tamaño de la muestra (\(n\)) usando la fórmula para poblaciones grandes: \(n = \frac{{Z^2 \cdot p \cdot (1-p)}}{{e^2}}\), donde \(Z\) es el valor Z del nivel de confianza (1.96 para 95%), \(p\) es la proporción esperada de error, y \(e\) es el error tolerable. El equipo debate y define \(p\) y \(e\) basándose en el riesgo inherente.
Problema: Identificar posibles fraudes en los estados financieros de un cliente.
Datos Relevantes: Razones financieras clave (liquidez, endeudamiento, rotación), tendencias históricas, promedios de la industria.
Estrategia: Calcular razones como el Ratio Circulante (\(\frac{Activo Corriente}{Pasivo Corriente}\)) y compararlas con años anteriores y con el sector. Una desviación extrema (ej., rotación de inventario mucho mayor que la media del sector sin una explicación clara) es una bandera roja. Los auditores senior y juniors discuten los hallazgos.
Problema: Calcular y registrar la depreciación anual de una flota de vehículos.
Datos Relevantes: Costo inicial del activo (\(C\)), valor residual estimado (\(V_r\)), vida útil (\(n\) años).
Estrategia: Aplicar el método de línea recta. La depreciación anual es \(D = \frac{C - V_r}{n}\). El equipo de contabilidad debe consensuar y documentar las estimaciones de \(V_r\) y \(n\) según la normatividad tributaria y las políticas de la empresa.
Problema: Asesorar a un cliente sobre la conveniencia de aceptar un acuerdo o ir a juicio.
Datos Relevantes: Probabilidad estimada de ganar (\(P_g\)), monto probable de la sentencia favorable (\(M_g\)), costos de litigio (\(C_l\)), monto de la oferta de acuerdo (\(O_a\)).
Estrategia en Grupo: Abogados y socios calculan el Valor Esperado del Litigio (VEL): \(VEL = (P_g \cdot M_g) - C_l\). Si \(VEL > O_a\), estadísticamente es mejor litigar. La discusión se centra en estimar \(P_g\) de manera realista, basándose en jurisprudencia y experiencia.
Problema: Asignar los recursos limitados (abogados, tiempo) a la cartera de casos.
Datos Relevantes: Valor potencial del caso, probabilidad de éxito, complejidad (horas-hombre estimadas), urgencia.
[Estrategia en Grupo: Crear una matriz de decisión. Asignar un peso a cada criterio y puntuar cada caso. La Puntuación por Caso sería: \(Score = w_v \cdot Valor + w_p \cdot Probabilidad + w_u \cdot Urgencia - w_c \cdot Complejidad\). Los casos con mayor score se priorizan.
Problema: Identificar riesgos potenciales en un contrato de suministro internacional.
Datos Relevantes: Texto de las cláusulas (ley aplicable, jurisdicción, penalizaciones por incumplimiento, force majeure), valor del contrato, historial del proveedor.
Estrategia en Grupo: Abogados especializados en contractual y comercio internacional dividen el contrato y analizan cada cláusula. Usan checklist y matrices de riesgo para calificar el nivel de peligro de cada punto y proponer enmiendas.
Problema: Determinar si una nueva terapia es significativamente más efectiva que la tradicional para reducir la ansiedad.
Datos Relevantes: Puntajes pre y post terapia en un test estandarizado (ej., HAM-A) para los grupos experimental y de control.
Estrategia: Realizar una prueba t de muestras independientes para comparar las medias de reducción de ansiedad (\(\Delta A\)) entre ambos grupos. La hipótesis nula (\(H_0\)) es \(\mu_1 = \mu_2\). Se calcula el estadístico \(t\) y el valor \(p\). Si \(p < 0.05\), se rechaza \(H_0\) y se concluye que hay una diferencia significativa.
Problema: Diseñar un programa de bienestar laboral para reducir el estrés en una empresa.
Datos Relevantes: Niveles de estrés basales (medidos con cuestionarios como el ISTAS21), recursos disponibles, horarios de los empleados.
Estrategia en Grupo: Psicólogos organizacionales, clínicos y directivos de RR.HH. aplican la metodología de Marco Lógico. Definen el árbol de problemas, el árbol de objetivos y la matriz de planificación con indicadores verificables (ej., “reducir el puntaje medio de estrés en un 15% en 6 meses”).
Problema: Evaluar la confiabilidad de un nuevo test de inteligencia emocional.
Datos Relevantes: Puntajes de los ítems del test en una muestra piloto.
Estrategia: Calcular la consistencia interna usando el coeficiente Alfa de Cronbach (\(\alpha\)). La fórmula es: \[\alpha = \frac{k}{k-1} \left(1 - \frac{\sum \sigma^2_{item}}{\sigma^2_{total}} \right)\] donde \(k\) es el número de ítems. Un \(\alpha > 0.7\) se considera aceptable. Se debate qué ítems eliminar para mejorar el \(\alpha\).
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Un arquitecto trabaja con planos a escala 1:200. Si una viga real mide 8 m, ¿cuánto mide en el plano? ✍️ Justifica aplicando potencias y fracciones.
Un tanque cilíndrico de radio 2 m y altura 4 m debe almacenar agua. Calcula el volumen en m³ y expresa tu respuesta también en notación científica. Usa: \(V = \pi r^2 h\)
Simplifica la siguiente expresión aplicando las propiedades de las potencias: \[\frac{2^6 \cdot 2^4}{2^5} = ?\]
Un test psicométrico arroja un puntaje de 145. La media poblacional es 100 y la desviación estándar 15. Calcula la puntuación Z y explica su significado respecto a la norma.
Una empresa invierte **\(50,000** al **6% anual** durante **4 años** bajo **interés compuesto**. Calcula el **valor futuro**:\)\(VF = VP \cdot (1 + i)^n\)$
Un activo de costo $120,000, valor residual $20,000 y vida útil 10 años se deprecia por línea recta. 📌 Calcula la depreciación anual.
Un país tiene 65 millones de habitantes y un área de 500,000 km². 📌 Calcula la densidad poblacional y expresa tu respuesta en notación científica.
Un juez fija daños compensatorios por $250,000 y aplica un multiplicador punitivo de 4. 📌 Determina el monto total de los daños punitivos.
Las ventas de una empresa crecieron de $2,000,000 a **\(3,500,000** en **5 años**. 📌 Calcula la **tasa de crecimiento anual compuesta (CAGR)**:\)\(g = \left(\frac{V_f}{V_i}\right)^{\frac{1}{n}} - 1\)$
Resuelve aplicando la jerarquía de operaciones: \[5 + 2 \times (4^2 – 3) \div \sqrt{16}\]
Explica paso a paso según las reglas de prioridad.
📌 Valoración total: 10 puntos ✔️ Cada pregunta vale 1 punto.
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\[I = P \cdot r \cdot t\] Donde:
\(I\) = Interés generado
\(P\) = Capital principal
\(r\) = Tasa de interés (decimal)
\(t\) = Tiempo (en periodos)
\[I = 2,000,000 \cdot 0.08 \cdot 3 = 480,000\]
\[y = mx + b\]
Crecimiento de membresía en organización:
\[M(t) = M_0 + k \cdot t\]
Donde:
\(M(t)\) = miembros en tiempo \(t\)
\(M_0\) = miembros iniciales (100)
\(k\) = tasa crecimiento (5 miembros/mes)
\[M(t) = 100 + 5t\]
Interés simple: Préstamo para construcción de espacio comunitario sostenible
\(P = 5,000,000\), \(r = 7\%\) anual, \(t = 4\) años
\(I = 5,000,000 \cdot 0.07 \cdot 4 = 1,400,000\)
Modelado energético: Consumo vs. número de pisos
\[E(p) = 500p + 1200\] (donde \(p\) = pisos, \(E\) = kWh/mes)
Reducción de material:
\[\text{%Reducción} = \frac{M_i - M_f}{M_i} \cdot 100\]
Ej: \(M_i = 850\) kg, \(M_f = 620\) kg → 27.06% de reducción
Inversión capital de trabajo:
\(P = 2,500,000\), \(r = 9\%\) trimestral, \(t = 3\) trimestres
\(I = 2,500,000 \cdot 0.09 \cdot 3 = 675,000\)
Proyección de ventas:
\[V(t) = 120 + 8t\]
(ventas mensuales en miles, \(t\) = meses)
Financiamiento campañas RSE:
Préstamo: \(3,000,000\) al \(6\%\) anual por 2 años
Interés: \(360,000\) para proyectos sociales
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Cálculo impositivo: \[\text{\%Impuesto} = \frac{Impuesto}{Ingreso\ Bruto} \cdot 100\] Ej: Ingreso = \(4,800,000\), Impuesto = \(1,200,000\) → 25%
Análisis de tendencias judiciales:
Cálculo de indemnizaciones:
Campañas digitales financiadas:
Crecimiento de seguidores: \[S(d) = 2500 + 85d\] (seguidores, \(d\) = días)
Reducción costos digital:
\[A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}\]
Donde: - \(A\) = Monto final (capital + interés)
\(P\) = Capital principal
\(r\) = Tasa de interés anual (decimal)
\(n\) = Número de periodos de capitalización por año
\(t\) = Tiempo en años
\[I = A - P\]
\[A = 2,000,000 \left(1 + \frac{0.08}{4}\right)^{4 \cdot 3} = 2,000,000 (1.02)^{12} = 2,536,483\]
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📚 Clase N°2 – Hora 2 🎯 Propósito del taller: Desarrollar en equipo la capacidad de identificar, aplicar y justificar las propiedades de los números reales, relacionándolas con ejemplos cotidianos, históricos y profesionales.
Lean la línea de tiempo de la evolución matemática.
Cada pareja debe identificar la propiedad que se aplica en los siguientes contextos y justificar su elección:
Resuelvan en pareja los siguientes:
En cada caso, expliquen en dos frases cómo aparece la propiedad matemática:
| Parte | Actividad | Puntaje |
|---|---|---|
| 1 | Mapa conceptual y reflexión crítica | 2 pts |
| 2 | Identificación de propiedades en contextos reales | 3 pts |
| 3 | Ejercicios numéricos guiados | 3 pts |
| 4 | Aplicaciones profesionales | 2 pts |
| Total | 10 pts |
🌟 Nota para los estudiantes: El trabajo debe presentarse en parejas, con orden, justificación clara y ejemplos adicionales si lo consideran necesario. Se evaluará tanto la precisión matemática como la capacidad de aplicar las propiedades a contextos reales.
👉 ¿Quieres que también te prepare un formato en Markdown con íconos visuales (📘, 📊, 🎯, 👥) para que el taller quede aún más atractivo y listo para subir a Moodle o proyectar en clase?
Aquí tienes un taller en parejas bien contextualizado, con énfasis en la rigurosidad académica y en la relación histórica, conceptual y profesional de las propiedades de los números reales. Lo diseñé como un documento pedagógico que conecta con los materiales de tu clase.
📘 Curso: Matemáticas Básicas 👥 Modalidad: Trabajo en parejas ⏰ Duración estimada: 50 minutos 🎯 Objetivo: Reconocer, aplicar y argumentar el uso de las propiedades de los números reales en distintos contextos históricos, académicos y profesionales.
Seleccionen dos áreas diferentes de la tabla de aplicaciones profesionales y:
Ejercicio de conmutativa y asociativa: Verifiquen si se cumple la igualdad: [ (7 + 3) + 5 ;=; 7 + (3 + 5)] y [ 8 (2 ) ;=; (8 ) ] Escriban la explicación en sus cuadernos.
Ejercicio de neutro e inverso: Completen las expresiones:
Ejercicio de distributiva aplicada: Una empresa debe entregar 15 cajas con 8 carpetas cada una y 15 cajas con 2 carpetas adicionales. Usen la distributiva para calcular rápidamente el total de carpetas.
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Fórmula general:
\[y = a \cdot (1 + r)^t\]
Donde:
\(y\) = Valor final
\(a\) = Valor inicial
\(r\) = Tasa de crecimiento
\(t\) = Tiempo
\[U(t) = 10,000 \cdot (1 + 0.05)^t\]
Donde: - \(U(t)\) = usuarios en tiempo \(t\) (meses) - Tasa de crecimiento mensual = \(5\%\)
\[A = 1,500,000 \left(1 + \frac{0.10}{12}\right)^{12 \cdot 5} = 1,500,000 (1.00833)^{60} = 2,467,892\]
Fondos de inversión empresarial:
Capital: \(5,000,000\) al \(9\%\) compuesto bimestral por 7 años
\(A = 5,000,000 \left(1 + \frac{0.09}{6}\right)^{42} = 9,324,600\)
Reinversión de utilidades:
Utilidad anual: \(1,200,000\) reinvertida al \(11\%\) anual
Acumulado en 6 años: \(1,200,000 \cdot \frac{(1.11)^6 - 1}{0.11} = 9,487,000\)
Valuación de empresa:
Crecimiento anual del \(18\%\) compuesto
Valor en 5 años: \(V_0 \cdot (1.18)^5\) (2.29 veces el valor inicial)
Fondos de pensiones:
Aporte mensual: \(20,000\) al \(10\%\) anual compuesto mensualmente
Acumulado en 25 años: \(20,000 \cdot \frac{(1.00833)^{300} - 1}{0.00833} = 26,450,000\)
Depreciación acelerada:
Equipo: \(1,800,000\) con depreciación del \(25\%\) anual compuesta
Valor en 4 años: \(1,800,000 \cdot (0.75)^4 = 569,500\)
Provisiones para pasivos:
Provisión requerida: \(5,000,000\) en 8 años con rendimiento del \(7\%\)
Inversión inicial: \(5,000,000 \div (1.07)^8 = 2,911,000\)
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Inversiones en divisas:
Capital: €500,000 con apreciación del \(6\%\) anual y tipo de cambio +\(3\%\)
Rendimiento total en 4 años: €500,000 \(\cdot\) \((1.06)^4\) \(\cdot\) \((1.03)^4\)
Hedging financiero:
Cobertura con crecimiento compuesto del \(8\%\) semestral
Protección en 3 años: \(P \cdot (1.04)^6\)
Financiamiento internacional:
Préstamo en USD al \(5\%\) compuesto trimestral
Monto a pagar en 5 años: \(P \cdot (1.0125)^{20}\)
Actualización de indemnizaciones:
Daños: \(2,500,000\) con inflación del \(6\%\) anual compuesta
Valor actual en 3 años: \(2,500,000 \cdot (1.06)^3 = 2,977,000\)
Fondos para litigios:
Fondo inicial: \(1,200,000\) con rendimiento del \(8\%\) compuesto
Disponible en 2 años: \(1,200,000 \cdot (1.08)^2 = 1,399,700\)
Honorarios escalonados:
Honorarios con crecimiento del \(15\%\) anual compuesto
Proyección para 5 años: \(H_0 \cdot (1.15)^5\)
Crecimiento de clientes en práctica privada:
\[P(t) = 50 \cdot (1.10)^t\]
(pacientes mensuales, \(t\) = meses)
Inversión en capacitación:
Curso: \(120,000\) con retorno del \(20\%\) anual compuesto
Beneficio en 3 años: \(120,000 \cdot [(1.20)^3 - 1] = 87,360\)
Expansión de consultorios:
Inversión inicial: \(2,000,000\) con crecimiento del \(18\%\) anual
Valor negocio en 4 años: \(2,000,000 \cdot (1.18)^4 = 3,880,000\)
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Crecimiento viral de seguidores:
\[S(t) = 1,000 \cdot (1.12)^t\]
(seguidores, \(t\) = semanas)
ROI compuesto de campañas:
Inversión: \(800,000\) con retorno del \(25\%\) trimestral compuesto
Retorno en 1 año: \(800,000 \cdot [(1.25)^4 - 1] = 1,441,400\)
Valoración de marca:
Valor inicial: \(5,000,000\) con crecimiento del \(15\%\) anual
Valor en 5 años: \(5,000,000 \cdot (1.15)^5 = 10,056,000\)
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\[P → Q \quad \text{donde} \quad P \text{ causa } Q \text{ con } p < 0.05\]
Correlación estadística significativa:
\[cov(X,Y) ≠ 0 , \ con\ p < 0.05
\]
Secuencia temporal demostrada:
\[X_t \ precede \ a \ Y_{t+1}\]
Control de variables de confusión: \[P(Y|do(X)) ≠ P(Y|X)\]
Mecanismo explicativo validado: Modelo teórico que explica \[X → Y\]
\[P ⊃ Q \quad \text{pero} \quad ∃x(P(x) ∧ ¬Q(x))\]
Falacia post hoc ergo propter hoc: Asumir causalidad porque A precede B
Sesgo de confirmación: Buscar sólo evidencia que confirma la creencia
Generalización apresurada: Extrapolar de casos insuficientes
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\(\sigma = M·y/I\) donde \(\sigma > f'_c\) causa falla estructural
Datos históricos: Edificios con \(T > T_s\) (periodo fundamental > periodo del suelo) tienen 70% más daño (\(r = 0.72, p < 0.001\))
Análisis de materiales: Concreto con \(f'_c < 150\text{kg/cm}^2\) tiene 5x mayor probabilidad de colapso
Estructuras con \(T/T_s > 1.2\) (basado en análisis modal)
Edificios con columnas cortas (factor de riesgo \(λ > 2.0\))
Construcciones con \(f'_c < 175\text{kg/cm}^2\) confirmado por testigos
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Estudios de usabilidad: Sans-serif > 12pt mejora lecturabilidad en 40% (\(n=500\) participantes)
\(Contraste ≥ 4.5:1\) (WCAG) asegura accesibilidad visual (validado con usuarios con discapacidad visual)
Interlineado de 1.5x mejora comprensión lectora en 25%
Impresión de materiales con tipografía accesible (Arial 12pt, contraste 7:1)
Testeo de usabilidad con grupos diversos
Capacitación a diseñadores en principios de diseño universal
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Modelo de regresión: \(ROI = 2.3X_1 + 1.7X_2 - 0.8X_3\) (donde \(X_1\) = marketing, \(X_2\) = producción, \(X_3\) = gastos generales)
Análisis histórico: Inversión en capacitación técnica tiene ROI de 2.5x a 5 años
Data-driven: Departamento con mayor ROI marginal actual recibe prioridad
Coeficientes probados históricamente
ROI marginal decreciente: \(\partial ROI/\partial X_i\)
Necesidades estratégicas de largo plazo
\(ROAS = f(CTR, ConversionRate, AverageOrderValue)\) modelado con datos reales
Remarketing tiene \(CAC = \$15\) vs \(CAC = \$45\) para adquisición nueva
Email marketing a base existente tiene ROI 3x mayor que redes sociales
Concentrar recursos en canales con mejor ROI comprobado
Priorizar retención sobre adquisición
Usar analytics para asignación dinámica de presupuesto
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⏰ Tiempo: 90 minutos 📈 Valor total: 10 puntos
Un abogado recibe una indemnización de \(800,000\) y la invierte a una tasa de interés simple del 5% anual durante 4 años.
Una empresa de comunicación financia una campaña con un préstamo de \(1,200,000\) a 12% anual simple por 6 meses.
En un modelo de ciencia política, la afiliación de militantes se estima como: \[A(m) = 500 + 30m\] donde \(m\) son los meses de campaña.
Un psicólogo estima el nivel de estrés con la función: \[E(h) = 8 - 0.7h\] donde \(h\) son horas de sueño diarias.
Un arquitecto invierte \(8,000,000\) en un proyecto inmobiliario con una apreciación del 12% anual compuesto.
Una compañía de auditoría abre un fondo de pensiones con aportes mensuales de \(20,000\) durante 25 años, al 10% anual compuesto mensualmente.
Un préstamo internacional de €500,000 genera un rendimiento del 6% anual, y el tipo de cambio se aprecia un 3% anual.
Un curso de capacitación en psicología organizacional cuesta \(120,000\). La inversión tiene un retorno del 20% anual compuesto durante 3 años.
El número de usuarios de una plataforma digital sigue el modelo exponencial: \[U(t) = 10,000 \cdot (1 + 0.05)^t\] donde \(t\) son meses.
Una empresa de marketing invierte \(800,000\) en una campaña con retorno del 25% trimestral compuesto.
🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹🔹 # Clase N°33.: Causalidad Probada vs. No Probada - Hora 30
\(Impacto = f(Transparencia, AlineamientoNecesidades, Monitorización)\) modelado con \(r^2 = 0.72\)
Ayuda con condiciones reduce corrupción en 50% (\(β = -0.32, p < 0.01\))
Proyectos con participación comunitaria tienen 2x sostenibilidad
Condicionar ayuda a transparencia y participación local
Enfocar en capacidad institucional no solo proyectos
Monitorización y evaluación rigurosa
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Meta-análisis: CBT efectiva en 75% casos depresión vs 35% placebos
\(d = 0.85\) (tamaño del efecto grande) para terapias basadas en evidencia
Intervenciones grupales reducen costos en 60% manteniendo efectividad
Priorizar terapias con mayor evidencia de efectividad
Implementar protocolos de tratamiento estandarizados
Usar modalidades grupales cuando apropiado
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\(Sharpe Ratio = (R_p - R_f)/σ_p\) predice desempeño ajustado a riesgo (validado empíricamente)
Diversificación reduce riesgo: \(σ_p^2 = \sum w_i^2σ_i^2 + \sum\sum w_i w_j σ_i σ_j ρ_{ij}\)
Análisis histórico: Proyectos de infraestructura básica tienen VAN promedio de 1.8x
Priorizar proyectos con \(VAN > 0\) y \(Sharpe Ratio > 1.0\)
Diversificar entre sectores con \(ρ_{ij} < 0.3\)
Incluir evaluación de impacto social cuantificado
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\(Riesgo = Probabilidad × Impacto\) (modelo validado)
Sectores con alto \(ΔInventario/ΔVentas > 1.5\) tienen 3x más fraudes
Transacciones con un solo aprobador tienen 5x más irregularidades
Asignar 70% de recursos a áreas de alto riesgo identificadas
Implementar muestreo estadístico basado en riesgo
Auditorías sorpresa en áreas con indicadores de alerta
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Análisis de casos: Defensas técnicas tienen 65% éxito vs 25% defensas emocionales
\(ProbabilidadÉxito = f(Evidencia, Precedentes, CalidadDefensa)\) modelado con \(r^2 = 0.68\)
Casos con testigos creíbles tienen 3x más probabilidad de éxito
Sistema de puntuación basado en factores probados de éxito
Asignar recursos a casos con mayor probabilidad de éxito e impacto
Desarrollar especialización por tipo de caso
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Programas de resiliencia reducen estrés post-traumático en 60%
\(Cohen's d = 1.2\) para intervenciones grupales estructuradas
Apoyo entre pares es 2x más efectivo que intervenciones solo profesionales
Pirámide de intervención: Base comunitaria, apoyo grupal, individual solo para casos severos
Capacitar a líderes comunitarios en primeros auxilios psicológicos
Medir resultados con escalas validadas
Evidencia específica: En señales de tránsito, rojo aumenta atención en 80% (pero solo en culturas occidentales)
Estudios interculturales: En algunas culturas, el amarillo se asocia más con peligro (\(r = 0.30\) entre culturas)
Investigación local: Test A/B con \(n=200\) participantes de la comunidad específica
Investigar asociaciones cromáticas locales antes de implementar
Usar símbolos universales complementarios a colores
Realizar pruebas de comprensión con la población objetivo
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\[a_n = a_1 + (n-1)d\]
\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]
\[a_n = an^2 + bn + c\]
\[a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\]
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Conjunción: \[p \land q\]
Disyunción: \[p \lor q\]
Implicación: \[p \rightarrow q\]
Equivalencia: \[p \leftrightarrow q\]
Negación: \[\neg p\]
\[ \frac{p \rightarrow q,\quad p}{q} \]
\[ \frac{p \rightarrow q,\quad \neg q}{\neg p} \]
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\[ \forall \ elemento \ estructural, \ resistencia \geq 1.5 \cdot carga_{máxima} \]
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\[ \frac{Art. 90\ CDC:\ dolo \rightarrow daños\ punitivos,\quad Volkswagen\ actuó\ con\ dolo}{Aplica\ daños\ punitivos} \]
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\[ \frac{Probabilidad(desastre) < 5\%,\quad Evidencia\ histórica}{Preocupación\ es\ irracional} \]
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\[ \forall punto\ acuerdo,\ \exists avance\ measurable\ \land\ \exists responsable\ asignado \]
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| Año | Tasa |
|---|---|
| 2014 | 8.2 |
| 2015 | 7.8 |
| 2016 | 7.5 |
| 2017 | 6.9 |
| 2018 | 6.3 |
| 2019 | 5.8 |
| 2020 | 11.2 |
| 2021 | 9.6 |
| 2022 | 7.1 |
| 2023 | 6.5 |
| Trimestre | PIB (miles de millones) |
|---|---|
| Q1 2022 | 520 |
| Q2 2022 | 535 |
| Q3 2022 | 548 |
| Q4 2022 | 562 |
| Q1 2023 | 575 |
| Q2 2023 | 590 |
| Q3 2023 | 605 |
| Q4 2023 | 620 |
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Contexto: Un analista político debe explicar los resultados de las elecciones y el nuevo mapa de poder.
Interpretación Cuantitativa:
Transformación de la Información:
Contexto: Publicar los resultados de una encuesta pre-electoral para un periódico nacional, asegurando rigor estadístico. * Interpretación Cuantitativa:
Para un candidato con un 32% de intención de voto (\(p=0.32\)) en una muestra de \(n=1200\) personas y un nivel de confianza del 95% (\(Z=1.96\)):
Error muestral: \[e = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.32(1-0.32)}{1200}} \approx 2.6\%\].
El resultado se reporta como: \(32.0\% \pm 2.6\%\).
Transformación de la Información:
Contexto: Evaluar el poder blando y la influencia relacional de un país en una organización multilateral como la ONU.
Interpretación Cuantitativa:
Transformación de la Información:
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Contexto: Un psicólogo clínico evalúa a un adolescente con suspected dificultades de aprendizaje.
Interpretación Cuantitativa:
El CI Total es 92, que se encuentra en el percentil \(P = 30\). Esto significa que su puntuación es mayor que el 30% de la población de su edad.
La puntuación en Comprensión Verbal tiene una puntuación T de \(T = 50 + 10 \cdot (-1.2) = 38\), significativamente por debajo de la media.
Transformación de la Información:
Contexto: Un investigador compara un grupo de control con un grupo experimental que recibió una nueva terapia para la ansiedad.
Interpretación Cuantitativa:
Realiza un ANOVA: \(F(1, 58) = 12.45, p < .05\). El valor F significativo indica que hay diferencias estadísticamente significativas entre los grupos.
Calcula el tamaño del efecto: \(\eta^2 = \frac{SS_{\text{between}}}{SS_{\text{total}}} = 0.18\), un efecto mediano.
Transformación de la Información:
Contexto: Un organismo de salud pública necesita dimensionar la población afectada por depresión en una región.
Interpretación Cuantitativa:
Calcula la prevalencia puntual: \(\frac{850 \text{ casos}}{50,000 \text{ habitantes}} \times 1000 = 17\) casos por cada 1000 habitantes.
En un estudio caso-control, encuentra que el odds ratio de sufrir depresión entre personas desempleadas es: \(OR = \frac{a/c}{b/d} = \frac{120/80}{430/920} \approx 3.2\).
Indica que los desempleados tienen 3.2 veces más probabilidad de padecer depresión.
Transformación de la Información:
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Contexto: El CMO necesita saber qué canales de marketing (Google Ads, Meta, Email, TV) contribuyeron más a las 5,000 ventas del último trimestre.
Interpretación Cuantitativa:
Calcula el Costo de Adquisición de Cliente (CAC) por canal: \(\text{CAC}_{\text{Meta}} = \frac{50,000}{1,200} \approx \$41.67\).
Usa un modelo de atribución de último click vs. lineal (donde el crédito se divide equitativamente entre todos los touchpoints). Los resultados pueden variar significativamente.
Transformación de la Información:
Diseña un Attribution Model Chart que compara visualmente cómo se distribuye el crédito de las conversiones entre los canales bajo diferentes modelos (Último Click, Primer Click, Lineal, Basado en Datos). Esto evidencia el rol de los canales de awareness superior (primeros clicks).
Contexto: Una marca de e-commerce quiere personalizar sus descuentos y mensajes para diferentes segmentos de clientes.
Interpretación Cuantitativa:
Calcula un score RFM para cada cliente: \(S = 0.5 \cdot R + 0.3 \cdot F + 0.2 \cdot M\), donde R (Recencia) es el número de días desde la última compra, F (Frecuencia) es el número de compras, y M (Monto) es el valor total gastado.
Aplica un algoritmo de clustering (K-Means) para agrupar clientes con comportamientos similares. Evalúa la calidad del clustering con el Silhouette Score.
Transformación de la Información:
Crea un scatter plot 3D (o una proyección 2D) donde cada punto es un cliente, coloreado por su cluster. Los centroides de cada cluster definen los segmentos: “Campeones”, “Leales”, “En riesgo”, “Dormidos”.
Contexto: Identificar en qué etapa del customer journey (Homepage -> Producto -> Carrito -> Checkout -> Confirmación) se pierden más usuarios.
Interpretación Cuantitativa:
Calcula la tasa de conversión global: \(\frac{800 \text{ órdenes}}{50,000 \text{ visitantes}} \times 100 = 1.6\%\).
Calcula la tasa de abandono en el carrito: \(\frac{4,000 \text{ abandonos}}{4,500 \text{ que llegaron al carrito}} \times 100 \approx 89\%\).
Transformación de la Información:
Construye un gráfico de funnel con porcentajes, mostrando la dramática caída de usuarios en cada etapa. Anotar al lado de cada caída hipótesis de por qué ocurre (e.g., “89% - Costos de envío altos”, “60% - Formulario de checkout muy largo”).
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Un arquitecto diseña una fachada donde el ancho de las ventanas sigue la fórmula: \[a_n = 1.0 + (n-1)\cdot 0.2\] Si el edificio tiene 10 pisos, ¿cuál será el ancho de la ventana en el piso 10 y cuál es la suma total de anchos de todas las ventanas del edificio?
Un diseñador define la escala tipográfica con razón \(r=1.2\), partiendo de \(12pt\).
Una fábrica sigue el patrón: \[P_n = 500 + (n-1)\cdot 50\] Si el contrato es por 6 meses, determina:
Un inversionista deposita $5,000 en un fondo con interés compuesto del 7% anual.
Un test de 60 ítems otorga 1 punto por respuesta correcta.
Una ciudad con 1.2 millones de habitantes crece a una tasa del 2% anual.
Considera la proposición:
Un político afirma: “Desde que se implementó la política X, bajaron los accidentes de tráfico. Luego, la política X es la causa de la reducción.”
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Contexto: Un bufete de abogados laboralistas quiere determinar su tasa de éxito y los montos promedio indemnizatorios para asesorar mejor a sus clientes.
Interpretación Cuantitativa:
Tasa de éxito del bufete: \(\frac{45}{60} \times 100 = 75\%\).
Tiempo promedio desde la demanda hasta la sentencia: \(\bar{t} = \frac{4,320 \text{ días}}{60 \text{ casos}} = 72\) días.
Transformación de la Información:
Crea una línea de tiempo que visualiza los precedentes judiciales más relevantes (usando íconos de gavel), mostrando la evolución de los criterios de los tribunales a favor del trabajador.
Contexto: Asesorar a una empresa tecnológica multinacional para asegurar el cumplimiento normativo en México y la Unión Europea.
Interpretación Cuantitativa:
Calcula un índice de similitud entre el GDPR europeo y la ley mexicana (LFPDPPP) en el capítulo de “Derechos ARCO”: \(S = \frac{8 \text{ derechos coincidentes}}{12 \text{ derechos totales}} \times 100 \approx 66.7\%\).
Transformación de la Información:
Desarrolla una matriz de doble entrada que desglosa los principales artículos de ambas leyes, usando checkmarks (✓) y crosses (✗) para indicar similitudes y diferencias clave, respectivamente.
Contexto: Una farmacéutica debe evaluar el riesgo de ser demandada al lanzar un nuevo medicamento genérico.
Interpretación Cuantitativa:
Estima la probabilidad de litigio basada en datos históricos del sector: \(PL = 40\%\).
Calcula el impacto financiero potencial (máximo): \(IP = 0.40 \times 200,000,000 = 80,000,000\) USD.
Transformación de la Información:
Construye una matriz de calor riesgo-probabilidad (Probability-Impact Matrix) donde el caso se ubica en el cuadrante de “Alto Impacto, Media Probabilidad”, lo que indica la necesidad de desarrollar un plan de mitigación.
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Contexto: Un diseñador UX/UI debe determinar qué versión de una página de destino genera más suscripciones a un newsletter.
Interpretación Cuantitativa:
Calcula la tasa de conversión para cada diseño: \(TC_A = \frac{150}{5000} \times 100 = 3.0\%\), \(TC_B = \frac{210}{5000} \times 100 = 4.2\%\).
Realiza una prueba de significancia estadística (test Z) para asegurar que la diferencia no es por azar: \(Z = \frac{p_1 - p_2}{\sqrt{p(1-p)(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}} = 2.34\) (valor > 1.96, por lo que es significativa).
Transformación de la Información:
Crea un gráfico de barras con intervalos de confianza para visualizar la diferencia entre las dos tasas de conversión y la incertidumbre asociada a cada medición.
Contexto: Tras una encuesta a potenciales clientes, se necesita sintetizar las preferencias sobre materiales, colores y estilos para guiar la fase de conceptualización.
Interpretación Cuantitativa:
Calcula la calificación media de aceptación para el color “azul grafito” en una escala Likert del 1 al 5: \(\bar{x} = 4.6\), \(\sigma = 0.5\).
Encuentra una fuerte correlación positiva (\(r = 0.82\)) entre la preferencia por “materiales sostenibles” y la “disposición a pagar más”.
Transformación de la Información:
Desarrolla un esquema o matriz de prioridades que asigna pesos porcentuales a cada atributo (e.g., 40% comodidad, 25% materiales, 20% estética, 15% precio) basado en los resultados de la encuesta.
Contexto: Diseñar el mango de un destornillador para minimizar la fatiga muscular y maximizar el torque aplicado.
Interpretación Cuantitativa:
A partir de pruebas con sensores, determina que el ángulo óptimo de la muñeca para aplicar fuerza es: \(\theta = 15^\circ \pm 3^\circ\).
La fuerza promedio de agarre medida es: \(F = 25N \pm 3N\).
Transformación de la Información:
Genera diagramas antropométricos en 2D y 3D que superponen las medidas promedio de la mano con el diseño del mango, asegurando que se ajuste al percentil 5° y 95° de la población objetivo.
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Contexto: Un contador público realiza la auditoría anual de una empresa y debe presentar hallazgos sobre su salud financiera.
Interpretación Cuantitativa:
Razón corriente: \(\frac{120,000}{85,000} \approx 1.41\). Indica que por cada peso de deuda a corto plazo, hay $1.41 de activos disponibles para pagarla.
Margen de utilidad neta: \(\frac{40,000}{500,000} \times 100 = 8.0\%\).
Transformación de la Información:
Crea gráficos de torta (análisis vertical) para mostrar la composición porcentual de los activos (e.g., 60% corriente, 40% fijo) y pasivos. Para el análisis horizontal, usa gráficos de barras para mostrar el cambio porcentual interanual de cada cuenta.
Contexto: Auditar los registros contables de una empresa para detectar posibles fraudes o errores materiales en los digitos de las transacciones.
Interpretación Cuantitativa:
La Ley de Benford establece la frecuencia esperada del dígito
líder d: \(P(d) = \log_{10}(1 +
\frac{1}{d})\).
Para el dígito 1: \(P(1) =
\log_{10}(2) \approx 30.1\%\). Si en los registros de gastos el
dígito 1 aparece solo en un 15% de las transacciones, la
desviación \(\frac{|0.15 - 0.301|}{0.301}
\approx 50\%\) es una bandera roja.
Transformación de la Información:
Elabora un heatmap que compara la frecuencia observada de cada dígito (del 1 al 9) con la frecuencia esperada según Benford. Las celdas con grandes diferencias se colorean en rojo.
Contexto: Definir el tamaño de la muestra para auditar 10,000 facturas de compras sin revisar el 100%.
Interpretación Cuantitativa:
Calcula el tamaño de muestra n para un nivel de
confianza del 95% (\(Z = 1.96\)), una
proporción esperada de error del 1% (\(p=0.01\)), y un error tolerable del 2%
(\(e=0.02\)):
\(n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.01 \cdot (1-0.01)}{(0.02)^2} \approx 95\) facturas.
Transformación de la Información:
Diseña un diagrama de flujo del proceso de compras, marcando los puntos de control críticos (como la aprobación del supervisor y la concordancia con la orden de compra) donde se aplicará el muestreo aleatorio.
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Tiempo: 90 minutos
Modalidad: Trabajo en parejas
Entregables: - Solución de los ejercicios en formato
digital - Análisis interpretativo de cada caso - Representación visual
de al menos 2 problemas
Un terreno adquirido en $8,000,000 tiene una apreciación del 12% anual compuesto.
Tareas: 1. Calcular el valor del terreno en 5 años usando la fórmula de interés compuesto 2. Determinar la tasa de crecimiento mensual equivalente 3. Representar gráficamente la evolución del valor año por año 4. Analizar cómo afectaría una tasa de inflación del 4% anual al rendimiento real
Fórmula aplicable: \[V_f = V_i \cdot (1 + r)^t\]
Se estudia la relación entre áreas verdes y frecuentación en parques urbanos.
Datos observados: - Parque A: 30% áreas verdes → 1,200 visitas/día - Parque B: 15% áreas verdes → 600 visitas/día - Parque C: 45% áreas verdes → 1,500 visitas/día
Tareas: 1. Calcular la correlación entre porcentaje de áreas verdes y visitas 2. Identificar posibles variables de confusión (clima, seguridad, accesibilidad) 3. Diseñar un estudio para probar causalidad (grupo control/experimental) 4. Representar los datos en un diagrama de dispersión con línea de tendencia
Una empresa reinvierte utilidades anuales de $1,200,000 al 11% anual compuesto por 6 años.
Tareas: 1. Calcular el monto acumulado usando la fórmula de valor futuro de anualidades 2. Determinar el interés total generado 3. Comparar con reinversión simple (sin capitalización) 4. Analizar el impacto en la valorización de la empresa
Fórmula aplicable: \[A = P \cdot \frac{(1 + r)^t - 1}{r}\]
Una empresa prueba 3 estrategias de marketing con diferentes presupuestos:
| Estrategia | Inversión | Ventas Generadas | ROI |
|---|---|---|---|
| $50,000 | $75,000 | ? | |
| Redes Sociales | $80,000 | $120,000 | ? |
| TV | $200,000 | $240,000 | ? |
Tareas: 1. Calcular el ROI para cada estrategia 2. Identificar correlaciones espurias (efecto temporada, marca reconocida) 3. Diseñar un experimento A/B para probar causalidad 4. Calcular el tamaño de muestra necesario para significancia estadística (95% confianza, 5% error) 5. Representar en gráfico de barras comparativo
Una indemnización de $2,500,000 debe actualizarse por inflación del 6% anual durante 3 años.
Tareas: 1. Calcular el valor actualizado de la indemnización 2. Determinar la pérdida de poder adquisitivo si no se actualiza 3. Comparar con actualización simple vs. compuesta 4. Analizar implicaciones legales de no actualizar
Estudio sobre efectividad de terapias para ansiedad:
| Terapia | Pacientes | Mejoría | Tasa Éxito |
|---|---|---|---|
| CBT | 100 | 75 | ? |
| Medicación | 100 | 60 | ? |
| Placebo | 100 | 35 | ? |
Tareas: 1. Calcular tasas de éxito y diferencias porcentuales 2. Aplicar test de chi-cuadrado para significancia estadística 3. Identificar posibles sesgos (efecto placebo, expectativas del terapeuta) 4. Diseñar estudio doble ciego para establecer causalidad 5. Calcular tamaño del efecto (Cohen’s d)
Aporte mensual de $20,000 al 10% anual compuesto mensualmente por 25 años.
Tareas: 1. Calcular el monto acumulado al jubilarse 2. Determinar la contribución total vs. intereses generados 3. Analizar el efecto de aumentar la aportación en 10% 4. Representar el crecimiento del fondo en línea de tiempo
Fórmula aplicable: \[FV = P \cdot \frac{(1 + \frac{r}{12})^{n} - 1}{\frac{r}{12}}\]
Análisis de transacciones sospechosas usando la Ley de Benford:
Datos: | Dígito | Frecuencia Esperada | Frecuencia Observada | |——–|———————|———————-| | 1 | 30.1% | 15% | | 2 | 17.6% | 25% | | 3 | 12.5% | 18% | | … | … | … |
Tareas: 1. Calcular desviaciones porcentuales 2. Identificar dígitos con mayor anomalía 3. Calcular estadístico de prueba para significancia 4. Proponer procedimientos de auditoría basados en hallazgos
| Criterio | Puntos | Descripción |
|---|---|---|
| Cálculos Correctos | 40% | Precisión en fórmulas y operaciones |
| Análisis Interpretativo | 30% | Profundidad en la interpretación de resultados |
| Representación Visual | 15% | Calidad y claridad de gráficos/tablas |
| Aplicación de Causalidad | 15% | Identificación correcta de relaciones causales vs. correlacionales |
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Tiempo: 120 minutos
Puntos totales: 100 puntos (10 puntos cada
pregunta)
Un arquitecto debe calcular el área total de un edificio con las siguientes dimensiones: - Largo: 25.75 metros - Ancho: 18.5 metros - Altura: 12.25 metros
Calcule: 1. El área de cada piso usando la propiedad distributiva 2. El volumen total del edificio 3. Explique qué propiedades de los números reales aplicó en cada cálculo
Una empresa invierte $5,000,000 en un proyecto con las siguientes condiciones: - Tasa de interés: 8% anual compuesto trimestralmente - Tiempo: 7 años - Inflación esperada: 3% anual
Determine: 1. El monto final de la inversión 2. El valor real ajustado por inflación 3. La tasa de crecimiento real neta
Fórmula: \(A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}\)
Un estudio afirma que “las empresas que invierten en capacitación tienen 35% más productividad”. Los datos muestran: - Grupo con capacitación: 85% de empleados productivos - Grupo sin capacitación: 63% de empleados productivos - Tamaño muestral: 200 empleados por grupo
Analice: 1. Calcule la diferencia real y el tamaño del efecto 2. Identifique 3 posibles variables de confusión 3. Diseñe un estudio para probar causalidad
Una comunidad crece según el patrón: 150, 180, 216, 259.2, …
Determine: 1. El tipo de progresión y su razón 2. La población en el décimo término 3. La suma total de los primeros 8 términos 4. Proyecte cuándo alcanzará 2,000 habitantes
Los ingresos mensuales (en millones) de una empresa son: 12.5, 15.8, 14.2, 18.3, 16.7, 13.9, 17.1, 19.4, 15.2, 16.8
Calcule: 1. Media, mediana y moda 2. Desviación estándar 3. Coeficiente de variación 4. Identifique valores atípicos usando el criterio de ±2 desviaciones estándar
Analice el siguiente argumento: “Si implementamos el programa de bienestar (P), entonces mejora la productividad (Q). Si mejora la productividad (Q), entonces aumentan las utilidades (R). Las utilidades no aumentaron (¬R). Por lo tanto, no implementamos el programa de bienestar (¬P).”
Evalúe: 1. Formalice el argumento en lógica proposicional 2. Identifique las reglas de inferencia utilizadas 3. Determine si es válido usando tabla de verdad 4. Identifique posibles falacias
Un presupuesto de $250,000,000 se distribuye así: - 35% para nómina - 20% para operación - 15% para marketing - 12% para investigación - 10% para impuestos - 8% para reservas
Si hay un recorte del 15% general: 1. Calcule el nuevo presupuesto total 2. Determine la nueva distribución porcentual manteniendo las proporciones 3. Calcule la reducción absoluta de cada rubro
Un terreno rectangular de 80m × 120m debe dividirse para: - 40% para construcción - 25% para áreas verdes - 20% para estacionamiento - 15% para circulación
Calcule: 1. El área total y de cada sección 2. El perímetro total 3. Si se construye un edificio que ocupa el 60% del área de construcción con 5 pisos, ¿cuál es el área construida total?
Una campaña en redes sociales reporta: - Alcance: 1,500,000 personas - Engagement rate: 4.8% - Tasa de conversión: 2.3% - CAC (Costo de Adquisición de Cliente): $45 - LTV (Valor de Vida del Cliente): $320
Analice: 1. Número total de interacciones 2. Número de conversiones 3. ROI de la campaña 4. Eficiencia del CAC vs LTV
Una ciudad tiene 50,000 habitantes con: - Crecimiento poblacional: 2.5% anual compuesto - Densidad actual: 85 hab/km² - Presupuesto municipal: $800 per cápita con crecimiento del 6% anual
Proyecte para 10 años: 1. Población futura 2. Área necesaria manteniendo densidad 3. Presupuesto municipal total 4. Relación presupuesto/población
Una enfermedad se propaga en una comunidad de 100,000 habitantes. El modelo de contagio sigue: \[C(t) = C_0 \cdot (1 + r)^t\] Donde: - Casos iniciales (t=0): 150 - Tasa de contagio diaria: 12% - Tiempo de duplicación: 6.1 días
Calcule: 1. Número de casos después de 30 días 2. Tiempo para alcanzar el 10% de la población infectada 3. Tasa de reproducción básica (R₀) si cada persona infecta a 3.2 personas en promedio 4. Punto de saturación del sistema de salud si la capacidad es de 2,000 camas hospitalarias
Un municipio debe distribuir $1,200,000,000 entre 4 programas sociales:
| Programa | Población beneficiada | Impacto social | Costo por persona |
|---|---|---|---|
| Educación | 15,000 | Alto | $40,000 |
| Salud | 12,000 | Muy Alto | $55,000 |
| Vivienda | 8,000 | Medio | $75,000 |
| Empleo | 10,000 | Alto | $35,000 |
Optimice la distribución considerando: 1. Máximo impacto social con el presupuesto 2. Cobertura mínima del 70% de la población objetivo 3. Priorización de programas con impacto “Muy Alto” 4. Eficiencia de costo por beneficiario
Una empresa de e-commerce reporta estos datos mensuales:
| Métrica | Mes 1 | Mes 2 | Mes 3 |
|---|---|---|---|
| Visitantes | 50,000 | 65,000 | 78,000 |
| Tasa conversión | 2.1% | 2.8% | 3.2% |
| Ticket promedio | $45 | $48 | $52 |
| CAC | $22 | $25 | $28 |
Analice: 1. Crecimiento mensual compuesto de visitantes 2. Evolución del ROI por mes 3. Punto de equilibrio considerando costos fijos de $180,000 mensuales 4. Proyección para el mes 6 con las tendencias actuales
Un trabajador demanda por despido injustificado con: - Salario mensual: $3,200,000 - Tiempo de servicio: 8 años 6 meses - Edad: 42 años - Expectativa de vida: 78 años
Calcule la indemnización considerando: 1. Liquidación legal (primas, vacaciones, cesantías) 2. Daños morales (6 meses de salario) 3. Lucro cesante (50% del salario hasta pensión) 4. Actualización con inflación del 4% anual
Una empresa industrial tiene: - Consumo energético: 850,000 kWh/mes - Emisiones: 0.85 kg CO₂/kWh - Meta de reducción: 25% en 3 años - Inversión en paneles solares: $600,000,000 - Ahorro energético esperado: 35%
Evalúe: 1. Emisiones actuales anuales en toneladas CO₂ 2. Reducción necesaria por año para cumplir meta 3. Retorno de inversión (ROI) del proyecto solar 4. Impacto financiero del ahorro energético
Un test de aptitud tiene: - Media poblacional: 100 puntos - Desviación estándar: 15 puntos - Confiabilidad (alpha de Cronbach): 0.87 - Error estándar de medición: 4.5 puntos
Si un candidato obtiene 118 puntos: 1. Calcule su puntuación Z y percentil 2. Determine el intervalo de confianza al 95% 3. Evalúe si la diferencia con otro candidato de 125 puntos es significativa 4. Interprete la confiabilidad del instrumento
Un proyecto de construcción tiene las siguientes estimaciones:
| Actividad | Optimista | Más probable | Pesimista |
|---|---|---|---|
| Cimentación | 20 días | 25 días | 36 días |
| Estructura | 45 días | 50 días | 65 días |
| Instalaciones | 30 días | 35 días | 46 días |
| Acabados | 40 días | 45 días | 58 días |
Calcule usando método PERT: 1. Duración esperada de cada actividad 2. Ruta crítica y duración total del proyecto 3. Probabilidad de terminar en 165 días 4. Margen de seguridad para cada actividad
Una empresa exportadora tiene: - Ventas en USD: $2,500,000 anuales - Costos en COP: $8,000,000,000 anuales - Tipo de cambio actual: $3,800 COP/USD - Devaluación proyectada: 8% anual - Cobertura cambiaria costo: 4% del monto
Analice: 1. Utilidad actual en COP 2. Proyección de utilidad a 1 año sin cobertura 3. Rentabilidad de la cobertura cambiaria 4. Punto de equilibrio del tipo de cambio
Una cadena de retail maneja: - Demanda anual: 120,000 unidades - Costo de pedido: $150,000 por orden - Costo de almacenamiento: $850 por unidad/año - Tiempo de entrega: 15 días - Stock de seguridad: 1,500 unidades
Optimice usando modelo EOQ: 1. Cantidad económica de pedido 2. Punto de reorden 3. Costo total anual de inventario 4. Número óptimo de pedidos por año
Un dataset de 50,000 registros tiene: - 15 variables predictoras - Variable objetivo binaria (éxito/fracaso) - Precisión del modelo: 82% - Recall: 75% - F1-score: 0.78
Para una campaña con: - Costo de adquisición: $120 por cliente - Valor esperado: $450 por cliente exitoso - Presupuesto: $6,000,000
Determine: 1. Umbral óptimo de clasificación 2. Número esperado de clientes exitosos 3. ROI de la campaña 4. Mejora necesaria en el modelo para aumentar ROI en 25%
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