Introducción a R y su Aplicación a la Teoría de la Probabilidad

¿Qué es R y para qué sirve?

R es un lenguaje de programación enfocado en el análisis de datos, estadística y visualización. Es ampliamente utilizado por científicos de datos, estadísticos e investigadores por su versatilidad y potencia.

Entre sus funcionalidades más destacadas están:

• Cálculos matemáticos y estadísticos
• Manejo de bases de datos
• Creación de gráficos y visualizaciones
• Desarrollo de modelos estadísticos
• Automatización de reportes dinámicos con R Markdown

Sintaxis básica en R

Comentarios y operaciones básicas

# Esto es un comentario
2 + 3  # suma

## [1] 5

4 * 5  # multiplicación

## [1] 20

sqrt(16)  # raíz cuadrada

## [1] 4

Crear vectores y calcular estadísticas

notas <- c(3.5, 4.0, 4.2, 5.0)
mean(notas)  # promedio

## [1] 4.175

sd(notas)    # desviación estándar

## [1] 0.6238322

¿Qué es un “chunk”?

Un chunk de código es un bloque donde se escribe código R dentro de un archivo .Rmd. Se ve así:

```{r} # Código dentro del chunk summary(c(1, 2, 3)) ```

Uso de bases de datos en R

R trae consigo varias bases de datos por defecto. Una de las más conocidas es mtcars:

# Mostrar las primeras filas de la base de datos
head(mtcars)

##                    mpg cyl disp  hp drat    wt  qsec vs am gear carb
## Mazda RX4         21.0   6  160 110 3.90 2.620 16.46  0  1    4    4
## Mazda RX4 Wag     21.0   6  160 110 3.90 2.875 17.02  0  1    4    4
## Datsun 710        22.8   4  108  93 3.85 2.320 18.61  1  1    4    1
## Hornet 4 Drive    21.4   6  258 110 3.08 3.215 19.44  1  0    3    1
## Hornet Sportabout 18.7   8  360 175 3.15 3.440 17.02  0  0    3    2
## Valiant           18.1   6  225 105 2.76 3.460 20.22  1  0    3    1

Generar una gráfica básica

# Histograma de las millas por galón (mpg)
hist(mtcars$mpg, main = "Histograma de consumo (mpg)", xlab = "Millas por galón")

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Fundamentos de la Teoría de la Probabilidad

Espacio de Probabilidad

Un espacio de probabilidad es un modelo matemático que describe todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se define como una terna:

(Ω, 𝓕, P)

• Ω: Espacio muestral (todos los posibles resultados)
• 𝓕: Sigma-álgebra sobre Ω (eventos)
• P: Función de probabilidad

Sigma-álgebra (𝓕)

Una sigma-álgebra es un conjunto de subconjuntos de Ω que cumple:

1. Ω ∈ 𝓕
   
2. Si A ∈ 𝓕 ⇒ su complemento Aᶜ ∈ 𝓕
   
3. Si A₁, A₂, A₃… ∈ 𝓕 ⇒ ∪ Aᵢ ∈ 𝓕

Sigma-álgebra generada

La σ-álgebra generada por un conjunto de eventos es la colección más pequeña de subconjuntos de Ω que contiene esos eventos y es una sigma-álgebra.

Ejemplo: si A = {1}, entonces la sigma-álgebra generada por A es:

{∅, {1}, {2,3}, Ω}

Teoremas de Kolmogorov

Los axiomas de Kolmogorov son los fundamentos de la probabilidad:

1. No negatividad: P(A) ≥ 0
   
2. Normalización: P(Ω) = 1
   
3. Aditividad: Si A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)