\[ (A \cup B) = \#A + \#B - \#(A \cap B) \]
\[ r = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_r \]
\[ n! := 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n - 1) \cdot n \]
\[ nP_k = \frac{n!}{(n - k)!} \]
\[ nk \]
\[ (n−1)! \]
\[ \frac{n!}{n_1! \, n_2! \, \cdots \, n_k!} \]
\[ \binom{n}{k} := \frac{n!}{k!(n - k)!}, \quad \text{siendo } \binom{n}{0} := 1 \]
\[ \binom{n + k - 1}{k} = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!}, \quad \text{siendo } \binom{n}{0} := 1 \]
\[ \binom{n}{n_1, n_2, \ldots, n_k} = \frac{n!}{n_1! \, n_2! \, \cdots \, n_k!} \]
\[ P(A) = P\left( \bigcup_{\omega \in A} \{\omega\} \right) = \sum_{\omega \in A} P(\omega) = \sum_{\omega \in A} \frac{1}{\#\Omega} = \frac{\#A}{\#\Omega} \]
Dos dados no falsos se lanzan. Halle la probabilidad de que:
Solución:
primero hallamos cual es el espacio muestral
\[ \Omega = \{ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5),(2,6),\\ (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),\\ (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \} \] \[\Omega = 6{\times}6 = 36 \]
Entonces, la probabilidad de que pase el evento A es: \[P(A) = \frac{6}{36} \approx 0,1667\]
\[B = \{(5,6), (6,5), (6,6)\}\] \[\#B = 3\]
Entonces, la probabilidad de que pase el evento B es:
\[P(B) = \frac{3}{36} \approx 0,083\]
\[C = \{ (1,1)\}\] \[\#C= 1\]
Entonces, la probabilidad de que pase el evento C es:
\[P(C) = \frac{1}{36} \approx 0,02778\]
\[D = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}\] \[\#D = 6\]
Entonces, la probabilidad de que pase el evento D es:
\[P(D) = \frac{6}{36} \approx 0,1667\]
Notese que la probabilidad de obtener un doble y la suma de 7 es igual.
Entonces, la probabilidad de que pase el evento E es: \[P(E) = \frac{30}{36} \approx 0,8333\]
eventos <- c(
"Suma = 7",
"Suma ≥ 11",
"Suma ≤ 2",
"Doble",
"No Doble"
)
fracciones <- c(
"6/36",
"3/36",
"1/36",
"6/36",
"30/36"
)
aproximadas <- c(
6/36,
3/36,
1/36,
6/36,
30/36
)
tabla <- data.frame(Evento = eventos, Probabilidad_Fraccion = fracciones, Probabilidad_Aprox = round(aproximadas, 4))
print(tabla)## Evento Probabilidad_Fraccion Probabilidad_Aprox
## 1 Suma = 7 6/36 0.1667
## 2 Suma ≥ 11 3/36 0.0833
## 3 Suma ≤ 2 1/36 0.0278
## 4 Doble 6/36 0.1667
## 5 No Doble 30/36 0.8333Los resultados obtenidos al realizar una encuesta sobre la variable Sexo (a 100 estudiantes universitarios), muestran que hay 49 mujeres y 51 hombres. Supongamos que se seleccionan cuatro estudiantes al azar.
Primero hallemos omega usando la formula de combiancion sin repeticón.En este caso, k será igual a 4 ya que las muestras son de ese tamaño y n será el total de estudiantes que es 100.
\[ \Omega = \binom{100}{4} = \frac{100!}{4!(100 - 4)!} = 3921225 \]
Ahora se hacen 2 combinaciones mas, una para hallar cuantas veces se escogen 2 hombres y otra para cuando se escogen 2 mujeres.
\[ Hombre = \binom{51}{2} = \frac{51!}{2!(51 - 2)!} = 1275 \] \[ Mujer = \binom{49}{2} = \frac{49!}{2!(49 - 2)!} = 1176 \]
Es decir que la probabilidad será:
\[ P(A) = \frac{(1275)(1176)}{3921225} = 0.38238 \]
W <- 49
M <- 51
N <- 100
n <- 4
prob_a <- (choose(W, 2) * choose(M, 2)) / choose(N, n)
prob_a## [1] 0.3823805En este evento si importa el orden (permutación) y es sin repetición, por lo tanto: \[ \Omega = \frac{100!}{(100 - 4)!} = 94109400 \] \[ Hombre = \frac{51!}{(51 - 2)!} = 2550 \] \[ Mujer = \frac{49!}{(49 - 2)!} = 2352 \] \[ P(B) = \frac{(2550)(2352)}{(94109400)} = 0.06373008 \]
prob_b <- (49/100) * (48/99) * (51/98) * (50/97)
prob_b## [1] 0.06373008Esta sería una combinación sin repetición y seguiría siendo el mismo que en el evento A. \[ Mujer = \binom{49}{4} = \frac{49!}{4!(49 - 4)!} = 211876 \]
\[ P(C) = \frac{211876}{3921225} = 0.05403311 \]
prob_c <- choose(W, 4) / choose(N, n)
prob_c## [1] 0.05403311Esta sería una combinación sin repetición y seguiría siendo el mismo que en el evento A. \[ Hombre = \binom{51}{3} = \frac{51!}{3!(51 - 3)!} = 20825 \] A esto hay que añadirle las mujeres que pueden salir 1 vez. \[ Mujer = \binom{49}{1} = \frac{49!}{1!(49 - 1)!} = 49 \] \[ P(D) = \frac{(20825)(49)}{3921225} = 0.2602312 \]
prob_d <- (choose(M,3) * choose(W,1)) / choose(N,n)
prob_d## [1] 0.2602312Este sería un evento de probabilidad 0 dado que las muestras de los estudiates son de tamaño 4 y en el evento se dan muestras de 7. \[ P(E) = 0 \]
prob_e<- 0
prob_e## [1] 0Para hallar la probabilidad de este evento habría que sumar las probalidades de los eventos C y D. \[ P(F) = P(C) + P(D) = 0.05403311 + 0.2602312 = 0.3142643 \]
prob_f <- prob_c + prob_d
prob_f## [1] 0.3142643La probabilidad de no seleccionar hombres es la misma que de seleccionar 4 mujeres, es decir que: \[ P(G) = P(C) = 0.05403311 \]
prob_g <- prob_c
prob_g## [1] 0.05403311La cantidad de veces que se selecciona un hombre será la combinación sin repetición de 51 en 1, y hay que agregarle la cantidad de veces que salen 3 mujeres. \[ Hombre = \binom{51}{1} = \frac{51!}{1!(51 - 1)!} = 51 \] \[ Mujer = \binom{49}{3} = \frac{49!}{3!(49 - 3)!} = 18424 \] Entonces, \[ P(H) = \frac{(51)(18424)}{3921225} = 0.2396251 \]
prob_H <- (choose(M,1)*choose(W,3))/choose(N,n)
prob_H## [1] 0.2396251La probabilidad de selecionar dos hombres es la misma que de seleccionar dos hombres y dos mujeres, la cual ya se halló en el punto A
\[ P(I) = P(A) = \frac{(1275)(1176)}{3921225} = 0.38238 \]
prob_i <- (choose(M,2)*choose(W,2))/choose(N,n)
prob_i## [1] 0.3823805La probabilidad de seleccionar máximo dos hombres será la suma de la probabilidad de seleccionar cero más la probabilidad de seleccionar uno más la probabilidad de seleccionar dos. \[ P(J) = P(G) + P(H) + P(I) = 0.05403311 + 0.2396251 + 0.38238 = 0.6760387 \]
prob_j <- sum((choose(M,0:2)*choose(W,4-(0:2)))/choose(N,n))
prob_j## [1] 0.6760387Dado que ya hallamos la probabilidad de máximo 2 hombres, entonces la de hallar 3 será el complemento de J. \[ P(K) = 1 - 0.6760387 = 0.3239613 \]
prob_k <- sum((choose(M,3:4)*choose(W,4-(3:4)))/choose(N,n))
prob_k## [1] 0.3239613Dado que ya tenemos la probabilidad de hallar 2 mujeres, la probabilidad de hallar máximo 2 será la suma de la probailidad de hallar 0, de hallar 1 y de hallar 2.
\[ P(L) = \]
prob_l <- sum((choose(W,0:2)*choose(M,4-(0:2)))/choose(N,n))
prob_l## [1] 0.7063418prob_m <- (49/100)*(48/99)*(47/98)*(51/97)
prob_m## [1] 0.05990628prob_n <- (49/100)*(48/99)*(51/98)*(48/97)
prob_n## [1] 0.06118088En este evento no hay repeticíón y si importa el orden.
\[ mujer = \frac{49!}{(49 - 4)!} = 5085024 \] \[ P(O) = \frac{5085024}{94109400} = 0,054033 \]
prob_o <- (49/100)*(48/99)*(47/98)*(46/97)
prob_o## [1] 0.05403311Dado que los dos primeros estudiantes deben ser mujeres entonces importa el orden, por lo tanto es una permutación sin repetición.
Como en la primera casilla solo puede ser una mujer entonces los casos favorables, entonces: \[ Primera-elección = \frac{49!}{(49 - 1)!} = 49 \] Ahora en la segunda elección tambien tiene que ser una mujer, pero como ya se escogio 1 en la anter elección entonces: \[ Segunda-elección = \frac{48!}{(48 - 1)!} = 48 \] Para la tercera elección puede ser tanto hombre como mujer, entonces como ya se escogieron 2 mujeres entonces el total será de 98 personas. \[ Tercera-elección = \frac{98!}{(98 - 1)!} = 98 \] Para la cuarta es exactamente la misma logica. \[ Cuarta-elección = \frac{97!}{(97 - 1)!} = 97 \] La probabilidad será: \[ P(P) = \frac{(49)(48)(98)(97)}{94109400} = 0.23757576 \]
prob_p <- (49/100)*(48/99)
prob_p## [1] 0.2375758Del conjunto \[ B = \left\{ x \in \mathbb{N} \; \bigg| \; \forall t \in \mathbb{R}: \frac{1}{4}t^2 - t + 7 - x + \sqrt{68 - x^2} \geq 0 \right\} \] se sacan tres números sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que estos formen un número menor que 386.
La desigualdad depende de \[ f(t) = \tfrac{1}{4}t^2 - t. \] Como es una parábola positiva, su mínimo se da en \[ t = \frac{1}{2 \cdot \tfrac{1}{4}} = 2, \] y \[ f(2) = \tfrac{1}{4}(2)^2 - 2 = -1. \]
Por lo tanto, \[ f(t) \geq -1 \quad \forall t \in \mathbb{R}. \]
La condición se convierte en \[ -1 + 7 - x + \sqrt{68 - x^2} \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad 6 - x + \sqrt{68 - x^2} \geq 0. \]
Esto implica: \[ \sqrt{68 - x^2} \geq x - 6. \]
Además, para que exista la raíz: \[ x^2 \leq 68 \quad \Longrightarrow \quad x \in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}. \]
Por tanto: \[ B = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}. \]
Se seleccionan tres números sin reemplazo y se forman números de tres
cifras distintas.
El total de formas es: \[
P(8,3) = 8 \times 7 \times 6 = 336.
\]
Un número de tres cifras es menor que 386 si:
Si la decena es \(1,2,4,5,6,7\):
siempre cumple \(\Rightarrow 6\)
posibles unidades en cada caso.
Si la decena es \(8\): debe cumplirse
\(80+b < 86 \Rightarrow b \leq 5\).
Eso da 4 unidades posibles.
Total para centena=3: \[ 6+6+6+6+6+6+4 = 40. \]
Por tanto, los casos favorables son: \[ 84 + 40 = 124. \]
\[ P = \frac{124}{336} = \frac{31}{84}. \]
library(knitr)
centena <- c("1", "2", "3 (decena=1,2,4,5,6,7)", "3 (decena=8)")
formas <- c(42, 42, 36, 4)
tabla <- data.frame(
Centena = centena,
Casos_Favorables = formas
)
kable(tabla, caption = "Distribución de los casos favorables (<386)")| Centena | Casos_Favorables |
|---|---|
| 1 | 42 |
| 2 | 42 |
| 3 (decena=1,2,4,5,6,7) | 36 |
| 3 (decena=8) | 4 |
total_favorables <- sum(tabla$Casos_Favorables)
total_posibles <- 8*7*6 # P(8,3)
probabilidad <- total_favorables / total_posibles
total_favorables## [1] 124total_posibles## [1] 336probabilidad## [1] 0.3690476