¿Qué es un espacio de probabilidad?

Un espacio de probabilidad es una estructura matemática que usamos para describir un experimento aleatorio (como lanzar un dado o una moneda). Se representa como una tripleta:

                                       (Ω,F,P)
Ω (omega)

Es el espacio muestral, o sea, el conjunto de todos los posibles resultados. Ejemplo: Si lanzas un dado, entonces

                                       Ω={1,2,3,4,5,6}

Es importante que Ω no sea vacío, porque no tendría sentido hablar de probabilidades sin resultados posibles.

F:

Es una colección de subconjuntos de Ω, llamados eventos. Esta colección debe cumplir ciertas reglas, por eso se llama una σ-álgebra (sigma-álgebra). Eso significa que:

  • Siempre contiene a Ω y al conjunto vacío (∅).

  • Si un evento está en F, su complemento también debe estar.

  • Si tenemos eventos infinitos en F, su unión también debe estar en F.

P:

Es una función de probabilidad, que toma un eveno A de F y le asigna un número real entre 0 y 1. Es decir, te dice qué tan probable es ese evento.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado

Vamos a analizar diferentes eventos y sus probabilidades al lanzar un dado justo de seis caras.

Tabla de eventos y probabilidades

Tabla de eventos con sus probabilidades
Evento Descripcion Probabilidad
Par Sale número par 0.5000000
Impar Sale número impar 0.5000000
< 4 Menor que 4 0.5000000
> 4 Mayor que 4 0.3333333
6 Sale un 6 0.1666667

Ejercicio

Los resultados obtenidos al realizar una encuesta sobre la variable Sexo (a 100 estudiantes universitarios), muestran que hay 49 mujeres y 51 hombres. Supongamos que se seleccionan cuatro estudiantes al azar.

Distribución por sexo
Sexo Frecuencias
Femenino 49
Masculino 51

  1. Diga qué tipo de variable es “Sexo”. Explique.

  2. Determine la proporción y el porcentaje de mujeres y de hombres en la muestra.

  3. Construya el diagrama de barras correspondiente.

  4. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar dos mujeres y dos hombres?

  5. Si seleccionan de uno en uno, ¿cuál es la probabilidad de que las dos primeras personas seleccionadas sean mujeres y las dos últimas, hombres.

  6. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres?

  7. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar tres hombres?

  8. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres y tres hombres?

  9. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres o tres hombres?

  10. ¿Cuál es la probabilidad de que no seleccionemos hombres?

Solución

  1. La variable Sexo es cualitativa categórica y tiene dos niveles: Femenino y Masculino.

  2. Las proporciones de mujeres y hombres en la muestra son 0.49 y 0.51, respectivamente. En porcentajes, serían 49% y 51%, respectivamente.

  4. Debemos hallar la probabilidad de seleccionar dos mujeres y dos hombres.

## N) Probabilidad pedida: 0.0637

La probabilidad de seleccionar dos mujeres y dos hombres es:

\[P(A)= \frac{(1176)(1275)}{3921225}= 0.3824\]

  1. Hallar la probabilidad de que las dos primeras personas seleccionadas sean mujeres y las dos últimas, hombres.
## Tamaño del espacio muestral
## 94109400
## Permutacion de las mujeres
## 2352
## Permutacion de los hombres
## 2550
## Probabilidad pedida
## 0.06373008

La probabilidad es: \[P(A)= \frac{(2352)(2550)}{94109400}=0.0637\]

  1. Hallar la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres.
## Tamaño del espacio muestral
## 3921225
## Combinaciòn de las mujeres
## 211876
## Probabilidad pedida
## 0.05403311

La formula quedarìa: \[P(A)= \frac{211876}{3921225}=0.054\]

  1. Hallar la probabilidad de seleccionar tres hombres. Utilizaremos combinaciones y aplicaremos probabilidad clásica.
## Tamaño del espacio muestral
## 3921225
## Combinacion de los hombres
## 20825
## Combinacion de las mujeres:
## 49
## Probabilidad pedida:
## 0.2602312

La probabilidad quedarìa: \[P(A)= \frac{(20825)(49)}{3921225}=0.2602\]

  1. La probabilidad de seleccionar cuatro mujeres y tres hombres es 0, ya que los eventos seleccionar cuatro mujeres y seleccionar tres hombres son disyuntos (intersecciones vacías).
## probabilidad pedida:
## 0
  1. Nos piden hallar la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres o tres hombres. Por el inciso (h), la probabilidad de la intersección de los eventos “seleccionar cuatro mujeres” y “seleccionar tres hombres” es cero. Por esta razón, se aplicará el teorema de adición para dos eventos: P(A∪B)=P(A)+P(B)

De los resultados encontrados en los incisos (f) y (g), la probabilidad de seleccionar cuatro mujeres o tres hombres es:

## Probabilidad pedida:
## 0.3142331

La formula es: \[P(A) = 0.0540 + 0.2602 = 0.3142\]

  1. Nos piden hallar la probabilidad de que no seleccionemos hombres. Entonces, si no se seleccionan hombres, entonces, hemos seleccionado cuatro mujeres. Por lo tanto, por la parte (f), la probabilidad de que no seleccionemos hombres es 0.0540.
## 0.05403311