Esperança Condicional

Questão

Uma moeda com probabilidade \(p\) de cara é lançada até que duas caras consecutivas ocorram. Qual é o número esperado de lançamentos para que isto aconteça?

Resposta

Teoria

Seja \(Y\) o número de lançamentos necessários para que uma coroa uma ocorra. Sabemos que: \[Y \sim Geo(q),\] em que \(q = 1 - p\). Logo, a fp de \(Y\) é dada por: \[\mathbb{P}(Y = y) = qp^{y-1}\underset{\{1, 2, ...\}}{\mathbb{I}(y)}.\]

Observe que estamos interessados no valor esperado de \(X\) que pode ser obtido a partir da esperança da esperança condicional de \(X\) dado que \(Y\) ocorreu: \[\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)].\]

Vamos entender a esperança condicional \(\mathbb{E}(X|Y)\). Se \(Y\) é igual a 1, então foi necessário um único lançamento para que ocorra coroa. Desse modo, a esperança condicional é: \[\mathbb{E}(X|Y = 1) = \mathbb{E}(1 + X) = 1 + \mathbb{E}(X),\] ou seja, adiciona 1 ao valor esperado de \(X\), já que ocorreu uma coroa, e reinicia todo o processo. Se \(Y\) é igual a 2, então foram necessários dois lançamentos para que ocorra uma coroa. Logo, a esperança condicional é: \[\mathbb{E}(X|Y = 2) = \mathbb{E}(2 + X) = 2 + \mathbb{E}(X),\]

ou seja, adiciona 2 ao valor esperado de \(X\), pois ocorreu uma cara e uma coroa, o que equivale a dois lançamentos sem ocorrer 2 caras consecutivas. Se o valor de \(Y\) é maior ou igual a 3, então necessariamente ocorreu duas ou mais caras, já que foram lançados mais que dois lançamentos sem ocorrer coroa. Desse modo, a esperança condicional é: \[\mathbb{E}(X|Y \geq 3) = 2.\]

Agora, com isso, podemos encontrar o valor esperado de \(X\): \[\begin{align*} \mathbb{E}(X) &= \mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)]\\ &= \sum_{i=1}^\infty\mathbb{E}(X|Y = i)\mathbb{P}(Y = i)\\ &= \mathbb{E}(X|Y = 1)\mathbb{P}(Y = 1) + \mathbb{E}(X|Y = 2)\mathbb{P}(Y = 2) + \sum_{i=3}^\infty\mathbb{E}(X|Y = i)\mathbb{P}(Y = i)\\ &= (1 + \mathbb{E}(X))qp^{1-1} + (2 + \mathbb{E}(X))qp^{2-1} + 2\sum_{i=3}^\infty qp^{i-1}\\ &= (q + qp)\mathbb{E}(X) + q + 2qp + 2\frac{qp^2}{1 - p}\\ \mathbb{E}(X) - (1-p^2)\mathbb{E}(X) &= 1 - p + 2p - 2p^2 + 2\frac{qp^2}{q}\\ p^2\mathbb{E}(X) &= 1 + p\\ \mathbb{E}(X) &= \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p}. \end{align*}\]

Agora vamos obter o segundo momento de \(X\). \[\begin{align*} \mathbb{E}(X^2) &= \mathbb{E}[\mathbb{E}(X^2|Y)]\\ &= \sum_{i=1}^\infty\mathbb{E}(X^2|Y = i)\mathbb{P}(Y = i)\\ &= \mathbb{E}(X^2|Y = 1)\mathbb{P}(Y = 1) + \mathbb{E}(X^2|Y = 2)\mathbb{P}(Y = 2) + \sum_{i=3}^\infty\mathbb{E}(X^2|Y = i)\mathbb{P}(Y = i)\\ &= \mathbb{E}[(1 + X)^2]q + \mathbb{E}[(2 + X)^2]qp + 2^2\sum_{i=3}^\infty qp^{i-1}\\ &= \mathbb{E}(1 + 2X + X^2)q + \mathbb{E}(4 + 4X + X^2)qp + 4\frac{qp^2}{1 - p}\\ &= [1 + 2\mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(X^2)]q + [4 + 4\mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(X^2)]qp + 4p^2\\ &= q + 4qp + 4p^2 + (2q + 4qp)\mathbb{E}(X) + (q + qp)\mathbb{E}(X^2)\\ \mathbb{E}(X^2) - (1 - p^2)\mathbb{E}(X^2) &= 1 - p + 4p - 4p^2 + 4p^2 + (2 - 2p + 4p - 4p^2)\bigg(\frac{1}{p^2} + \frac{1}{p}\bigg)\\ p^2\mathbb{E}(X^2) &= 1 + 3p + (2 + 2p - 4p^2)\frac{1}{p^2} + (2 + 2p - 4p^2)\frac{1}{p}\\ p^2\mathbb{E}(X^2) &= 1 + 3p + \frac{2}{p^2} + \frac{2}{p} - 4 + \frac{2}{p} + 2 - 4p\\ p^2\mathbb{E}(X^2) &= \frac{2}{p^2} + \frac{4}{p} - 1 - p \\ \mathbb{E}(X^2) &= \frac{2}{p^4} + \frac{4}{p^3} - \frac{1}{p^2} - \frac{1}{p}. \end{align*}\]

Com esses dois resultados podemos calcular a variância: \[\begin{align*} \mathbb{V}ar(X) &= \mathbb{E}(X^2) - [\mathbb{E}(X)]^2\\ &= \frac{2}{p^4} + \frac{4}{p^3} - \frac{1}{p^2} - \frac{1}{p} - \bigg(\frac{1}{p^2} + \frac{1}{p}\bigg)^2\\ &= \frac{2}{p^4} + \frac{4}{p^3} - \frac{1}{p^2} - \frac{1}{p} - \frac{1}{p^4} - 2\frac{1}{p^3} - \frac{1}{p^2}\\ &= \frac{1}{p^4} + \frac{2}{p^3} - \frac{2}{p^2} - \frac{1}{p}. \end{align*}\]

Computacional

Funções para gerar \(X\)

As seguintes funções geram a variável aleatória \(X\).

• A função Xun Gera apenas um valor de \(X\).
• A função X usa a função Xun para gerar \(n\) valores de \(X\).

Função Xun

Xun <- function(p) {
  # Y ~ Geom(1 - p): número de falhas (caras) até a primeira coroa
  Y <- rgeom(1, 1 - p) + 1
  
  if (Y <= 2){
    # sequência inicial: Y-1 caras e 1 coroa
    sequencia <- c(rep(1, Y - 1), 0)  # 1 = cara, 0 = coroa
    
    # continuar jogando até obter duas caras consecutivas
    anterior <- 0  # a última foi coroa
    
    repeat {
      atual <- rbinom(1, 1, p)  # Gera uma bernoulli(p)
      sequencia <- c(sequencia, atual) # adiciona a bernoulli ao final da sequência
      if (anterior == 1 && atual == 1) { # se tiver 2 caras consecutivas pode parar
        break
      }
      anterior <- atual # Caso contrário, apenas reinicia todo o processo
    }
    
    X <- length(sequencia)
  }
  else{
    X <- 2 # se Y é maior que 2 então necessariamente ocorreram 2 caras consecutivas
  }
  return(X)
}

Função X

X <- function(n, p){ # essa função vai gerar n unidades de X com prob p
  x <- numeric(n)
  for (i in 1:n){
    x[i] <- Xun(p)
  }
  return(x)
}

Aplicação das duas funções

Xun(0.5)

## [1] 4

X(20, 0.5)

##  [1]  6  9  4  5  4 19  4  2  3  9  4 10  2 15  5  9  7 12  4  4

Verificação da esperança e variância de \(X\)

Vamos verificar a média de \(X\), para \(p = 0.5\), com o aumento de \(n\).

p <- 0.5
set.seed(548254)

amostra50 <- X(50, p)
amostra100 <- X(100, p)
amostra1000 <- X(1000, p)
amostra10000 <- X(10000, p)
amostragigante <- X(1000000, p)

medias <- c(mean(amostra50),
            mean(amostra100),
            mean(amostra1000),
            mean(amostra10000),
            mean(amostragigante))
print(medias)

## [1] 6.82000 6.69000 5.93100 5.99490 6.00322

Lembrando que pelos cálculos, a média deve resultar em:\[\mathbb{E}(X) = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{p}.\] Vamos cálcular isso no R para \(p = 0.5\).

p <- 0.5
muX <- (1/(p^2)) + (1/p); muX

## [1] 6

Agora vamos cálcular a variância das nossas amostras.

variancias <- c(var(amostra50),
                var(amostra100),
                var(amostra1000),
                var(amostra10000),
                var(amostragigante))
print(variancias)

## [1] 41.25265 21.04434 23.64588 21.80325 22.03972

Lembrando que a variância de \(X\) é calculada por: \[\mathbb{V}ar(X) = \frac{1}{p^4} + \frac{2}{p^3} - \frac{2}{p^2} - \frac{1}{p}.\]

Vamos calcular isso no R para \(p = 0.5\):

p <- 0.5
sigma2 <- (1/(p^4)) + (2/(p^3)) - (2/(p^2)) - (1/p)
sigma2

## [1] 22