1.1. Definición de matriz

Una matriz es un arreglo rectangular de números organizados en filas (horizontales) y columnas (verticales). La dimensión de una matriz se expresa como \(m \times n\), donde \(m\) es el número de filas y \(n\) el número de columnas.

• Ejemplo: La siguiente es una matriz A de dimensión \(2 \times 3\) (2 filas, 3 columnas). \[A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 0 \\ 4 & 2 & 7 \end{pmatrix}\]

1.2. Elementos de una matriz

Cada número en la matriz es un elemento. Su posición se define por la fila (\(i\)) y la columna (\(j\)) que ocupa, y se denota como \(a_{ij}\).

• Ejemplo: Para la matriz \(A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 0 \\ 4 & 2 & 7 \end{pmatrix}\):
  • El elemento \(a_{11}\) (fila 1, columna 1) es 1.
  • El elemento \(a_{23}\) (fila 2, columna 3) es 7.

1.3. Tipos de matrices

Matrices según su Dimensión

1. Matriz Rectangular

Es la forma más general. Tiene un número de filas (\(m\)) diferente al número de columnas (\(n\)). * Ejemplo: Una matriz de \(2 \times 3\) \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 9 & -2 \\ 0 & 5 & 3 \end{pmatrix} \]

2. Matriz Cuadrada

Tiene el mismo número de filas que de columnas (\(m = n\)). Se dice que es una matriz de orden n. * Ejemplo: Una matriz de orden 3 (o \(3 \times 3\)) \[ B = \begin{pmatrix} 4 & 7 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ -5 & 1 & 8 \end{pmatrix} \]

3. Matriz Fila

Tiene una sola fila (\(1 \times n\)). También se conoce como vector fila. * Ejemplo: Una matriz de \(1 \times 4\) \[ C = \begin{pmatrix} 5 & 0 & -8 & 2 \end{pmatrix} \]

4. Matriz Columna

Tiene una sola columna (\(m \times 1\)). También se conoce como vector columna. * Ejemplo: Una matriz de \(3 \times 1\) \[ D = \begin{pmatrix} 9 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \]

Matrices según sus Elementos

5. Matriz Nula (o Cero)

Todos sus elementos son cero. Se denota con la letra \(O\). * Ejemplo: Una matriz nula de \(2 \times 2\) \[ O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]

6. Matriz Identidad (o Unidad)

Es una matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal principal son 1 y todos los demás son 0. Se denota como \(I_n\). * Ejemplo: La matriz identidad de orden 3 \[ I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

7. Matriz Diagonal

Es una matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero. Los elementos de la diagonal pueden ser cualquier número, incluido el cero. * Ejemplo: \[ E = \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Matrices Cuadradas con Estructuras Especiales

8. Matriz Triangular Superior

Es una matriz cuadrada donde todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero. * Ejemplo: \[ F = \begin{pmatrix} 5 & 9 & -1 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \]

9. Matriz Triangular Inferior

Es una matriz cuadrada donde todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero. * Ejemplo: \[ G = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 0 \\ -4 & 9 & 7 \end{pmatrix} \]

10. Matriz Simétrica

Es una matriz cuadrada que es igual a su transpuesta (\(A = A^T\)). Los elementos son un reflejo especular a través de la diagonal principal (\(a_{ij} = a_{ji}\)). * Ejemplo: \[ H = \begin{pmatrix} 3 & \color{blue}{6} & \color{red}{-1} \\ \color{blue}{6} & 5 & \color{green}{4} \\ \color{red}{-1} & \color{green}{4} & 9 \end{pmatrix} \]

11. Matriz Antisimétrica (o Hemisimétrica)

Es una matriz cuadrada donde su transpuesta es igual a su negativa (\(A^T = -A\)). Esto implica que la diagonal principal debe ser cero y los elementos opuestos son negativos entre sí (\(a_{ij} = -a_{ji}\)). * Ejemplo: \[ J = \begin{pmatrix} 0 & \color{blue}{6} & \color{red}{-1} \\ \color{blue}{-6} & 0 & \color{green}{4} \\ \color{red}{1} & \color{green}{-4} & 0 \end{pmatrix} \]

Matrices con Propiedades Especiales

12. Matriz Transpuesta

Se obtiene de otra matriz al intercambiar sus filas por columnas. Se denota como \(A^T\). * Ejemplo: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \]

13. Matriz Inversa

Para una matriz cuadrada \(A\), su inversa \(A^{-1}\) es aquella que cumple: \(A \cdot A^{-1} = I\). No todas las matrices cuadradas tienen inversa. * Ejemplo: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \]

14. Matriz Ortogonal

Es una matriz cuadrada cuya matriz inversa es igual a su matriz transpuesta (\(A^{-1} = A^T\)). Esto significa que \(A \cdot A^T = I\). Son importantes en transformaciones geométricas como las rotaciones. * Ejemplo: \[ K = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]

15. Matriz Idempotente

Es una matriz cuadrada que, al multiplicarla por sí misma, da como resultado la misma matriz (\(A^2 = A\)). * Ejemplo: \[ L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{porque} \quad L \cdot L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} \] ***

2.1. Suma (y resta)

Se realiza entre matrices de igual dimensión, sumando o restando los elementos que ocupan la misma posición.

• Ejemplo: \[A = \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & -9 \end{pmatrix}\] \[A + B = \begin{pmatrix} 3+4 & 8+0 \\ 4+1 & 6+(-9) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}\] \[A - B = \begin{pmatrix} 3-4 & 8-0 \\ 4-1 & 6-(-9) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 8 \\ 3 & 15 \end{pmatrix}\]

2.2. Producto

• Producto por un escalar: Un número multiplica a cada elemento de la matriz.
  • Ejemplo: \[5 \cdot A = 5 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 3 & 5 \cdot 8 \\ 5 \cdot 4 & 5 \cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 40 \\ 20 & 30 \end{pmatrix}\]
• Producto de matrices (\(A \cdot B\)): El número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Se multiplica cada fila de A por cada columna de B.
  • Ejemplo: \[A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}\] \[A \cdot B = \begin{pmatrix} (2 \cdot 4 + 3 \cdot 6) & (2 \cdot 5 + 3 \cdot 7) \\ (1 \cdot 4 + 0 \cdot 6) & (1 \cdot 5 + 0 \cdot 7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8+18 & 10+21 \\ 4+0 & 5+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 26 & 31 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\]

2.3. Transposición

La matriz transpuesta (\(A^T\)) se obtiene al convertir las filas en columnas.

• Ejemplo: \[A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 0 \\ 4 & 2 & 7 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -5 & 2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}\]

2.4. Inversa de una matriz

Solo las matrices cuadradas con determinante no nulo tienen inversa. Se usa el método de Gauss-Jordan.

2.4.1. Matriz aumentada y 2.4.2. OEF

Se combina la matriz original (\(A\)) con la identidad (\(I\)) y se aplican Operaciones Elementales entre Filas (OEF) para transformar \(A\) en \(I\). La matriz resultante a la derecha será la inversa \(A^{-1}\).

• Ejemplo: Encontrar la inversa de \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\).
  1. Matriz aumentada: \[\left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right)\]
  2. Aplicar OEF:
     • \(F_1 / 2 \rightarrow F_1\) (Hacer el primer elemento 1) \[\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right)\]
     • \(F_2 - 5F_1 \rightarrow F_2\) (Hacer cero el elemento debajo) \[\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & -5/2 & 1 \end{array}\right)\]
     • \(F_2 \cdot 2 \rightarrow F_2\) (Hacer el segundo pivote 1) \[\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & 2 \end{array}\right)\]
     • \(F_1 - 1/2 F_2 \rightarrow F_1\) (Hacer cero el elemento arriba) \[\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -5 & 2 \end{array}\right)\]
  3. Resultado: La parte izquierda es \(I\), entonces la derecha es \(A^{-1}\). \[A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\]

2.5. Rango de una matriz

Es el número de filas no nulas después de simplificar la matriz usando OEF.

2.5.1. Usando OEF

Se aplican OEF para “escalonar” la matriz. El número de filas que no sean completamente de ceros es el rango.

• Ejemplo: Calcular el rango de \(C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 7 & 10 \end{pmatrix}\).
  1. Aplicar OEF:
     • \(F_2 - 2F_1 \rightarrow F_2\)
     • \(F_3 - 3F_1 \rightarrow F_3\) \[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]
  2. Reordenar filas (opcional, para ver mejor): \(F_2 \leftrightarrow F_3\) \[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
  3. Conteo: La matriz escalonada tiene 2 filas no nulas. Por lo tanto, el rango de C es 2.