Integrales y Derivadas

Integral Indefinida y Definida

Puedes obtener la primitiva (integral indefinida) de una función, o la integral definida, usando paquetes de álgebra computacional.

install.packages("Ryacas0") 

library(Ryacas0)

x <- Sym("x") # Declarar la variable simbólica
expr <- x^2 + 3*x + 1 # Definir la expresión

Integrate(expr, x) # Integral indefinida (primitiva)

## yacas_expression(x^3/3 + 3 * x^2/2 + x)

Integrate(expr, x, 0, 2) # Integral definida entre 0 y 2

## yacas_expression(32/3)

Integral Definida

En R podemos utilizar la función integrate para calcular integrales. Se puede observar lo facil que los calculos se pueden hacer en el lenguaje. lLa unica dificultad que supone trabajar con R es aprender la semantica del lenguaje.

\[∫_0^1xdx=\frac{x^2}{2}∣_0^1=1^2−0^2=1\]

integrate(function(x) x, lower = 0, upper = 1)

## 0.5 with absolute error < 5.6e-15

inte <- function(x) x
x1 <- seq(0,1,by = 0.01)
plot(x1, inte(x1),type='l', col = 'black',lwd=2)
polygon(c(0,x1,1),c(0,inte(x1),0), col ='pink')

\[∫_0^3 \frac{1}{\sqrt{3-x}}dx\]

integrate(function(x) 1 / sqrt(3 - x), lower = 0, upper = 3)

## 3.464102 with absolute error < 5e-13

inte <- function(x) 1 / sqrt(3 - x)
x1 <- seq(0,3,by = 0.01)
plot(x1, inte(x1),type='l', col = 'black',lwd=2)
polygon(c(0,x1,1),c(0,inte(x1),0), col ='pink')

Integrales con límites infinitos.

integrate(function(x) exp(-x), lower = 0, upper = Inf)

## 1 with absolute error < 5.7e-05

inte <- function(x) exp(-x)
x1 <- seq(0,100,by = 0.01)
plot(x1, inte(x1),type='l', col = 'black',lwd=2)
polygon(c(0,x1,1),c(0,inte(x1),0), col ='pink')

## Integral indefinida

Cálculo de Derivadas

Si no lo tiene instalado debe instalar el paquete. “Deriv”

install.packages("Deriv")

library(Deriv)

## 
## Attaching package: 'Deriv'

## The following object is masked from 'package:Ryacas0':
## 
##     Simplify

f<-function(x) 2*x^2+2 # Definir la función
Derivada<-Deriv(f, "x") # Calcular la derivada simbólica
Derivada

## function (x) 
## 4 * x

f <- function(x) x^3 + 2*x^2 + 3*x + 1 # Definir la función
df <- Deriv(f, "x") # Calcular la derivada simbólica
df

## function (x) 
## 3 + x * (3 * x + 4)

df(2)  # Evalúa la derivada en x = 2

## [1] 23

Deriv(expression(x^2 + sin(x)), "x") # derivar la expresión directamente

## expression(2 * x + cos(x))

otra forma de derivar

expresion1=expression(x^2)
D(expresion1,"x")

## 2 * x

Ejercicios Integrales y Derivadas

Parte A: 10 ejercicios

1. Calcular: \(\int_{0}^{1} x \, dx\) y graficar el área bajo la curva.

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2. Calcular \(\int_{-1}^{2} (x^2 + 3x + 1)\, dx\)

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3. Calcular \(\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3-x}}\, dx\) (Integral impropia en el extremo).

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4. Calcular \(\int_{0}^{\infty} e^{-x}\, dx\) Comparar con el valor en \([0,5]\).

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5. Área bajo una curva (gráfico + integral). Para \(f(x)=\sin x\) en \([0,\pi]\), graficar y calcular:
   \(\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx\)

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6. Integral simbólica (Ryacas0). Sea \(p(x)=x^2+3x+1\).
   1. Primitiva con \(\int p(x)dx\)
      
   2. Integral definida \(\int_0^2 p(x)\,dx\)

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7. Derivada simbólica de función (Deriv). Sea \(f(x)=x^3+2x^2+3x+1\). Obtener \(f'(x)\) y evaluar en \(x=2\).

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8. Derivada de expresión (Deriv sobre expression). Derivar \(x^2+\sin x\) y evaluar en \(x=\pi/2\).

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9. Derivada con D(). Derivar \(x^2 e^x\) con D() y evaluar en \(x=1\).

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10. Integral y derivada combinadas. Sea \(g(x)=x^2+1\).
    1. \(\int_0^1 g(x)\,dx\) con integrate.
       
    2. \(g'(x)\).
       
    3. Verificar numéricamente que \(\int_0^1 g'(x)\,dx \approx g(1)-g(0)\)

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Parte B: 5 Retos

11. Reto — Simbólica vs Numérica. Para \(p(x)=3x^2-4x+1\):
    1. Comparar \(\int_{-2}^{3} p(x)\,dx\) con Ryacas0::Integrate y con integrate.
       
    2. Reportar la diferencia absoluta.

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12. Reto — Integral impropia con singularidad interior
    1. \(\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{|1-x|}}\, dx\)
       
    2. Dividir en \([0,1)\) y \((1,2]\) y sumar resultados.

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13. Reto — Derivada de composición y gráfica. Para \(h(x)=e^{-x}\sin x\):
    1. Derivar con Deriv, evaluar \(h'(x)\) en \([0, 2\pi]\) y graficar.

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14. Reto — Área y verificación numérica. Para \(q(x)=x(1-x)\) en \([0,1]\):
    1. Graficar y sombrear el área.
       
    2. Calcular el área con integrate.
       
    3. Verificar con Ryacas0 la primitiva.

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15. Reto — Derivadas con D() y comparación. Para \(r(x)=\ln(1+x^2)\):
    1. Derivar con D(expression, "x").
       
    2. Derivar con Deriv(function, "x").
       
    3. Comparar evaluando en \(x=0,1,2\).

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